Examkin

Question

Difficulty: HardMerkezi Yayılım Ölçüleri

En az iki elemanı olan ve tüm elemanları birbirinden farklı sayılardan oluşan bir veri grubuna, bu grubun aritmetik ortalamasına eşit olan yeni bir veri eklendiğinde; yeni grubun açıklığı başlangıçtaki grubun açıklığına eşit olur, standart sapması ise başlangıçtaki grubun standart sapmasından daha küçük olur.

Answer: Answer

Answer

İfade doğrudur. En az iki farklı elemandan oluşan bir veri grubuna aritmetik ortalamaya eşit bir eleman eklendiğinde açıklık değişmez, standart sapma ise azalır.
Verilen ifade tamamen doğrudur. Aritmetik ortalamaya eşit bir verinin eklenmesi veri grubunun yayılımını (ortalamaya olan uzaklık kareleri toplamını) artırmazken veri sayısını artırdığı için standart sapmayı azaltır. Aynı zamanda ortalama uç değerlerden farklı olduğu için en büyük ve en küçük değerleri değiştirmez, dolayısıyla açıklık sabit kalır.

Step-by-Step Solution

1
Veri grubunun elemanlarını ve aritmetik ortalamasını tanımlayın.
Elemanları x1<x2<⋯<xnx_1 < x_2 < \dots < x_n (n≥2n \geq 2) olan veri grubunun aritmetik ortalaması xˉ\bar{x} olsun. Veriler birbirinden farklı olduğu için x1<xˉ<xnx_1 < \bar{x} < x_n olur.
Açıklık ve standart sapmanın nasıl değiştiğini incelemek için başlangıç durumunu belirlememiz gerekir.
2
Aritmetik ortalamaya eşit yeni bir veri eklendiğinde açıklığın nasıl değiştiğini inceleyin.
Yeni veri grubunun elemanları {x1,x2,…,xn,xˉ}\{x_1, x_2, \dots, x_n, \bar{x}\} olur. x1<xˉ<xnx_1 < \bar{x} < x_n olduğundan, yeni grubun en küçük elemanı yine x1x_1, en büyük elemanı ise yine xnx_n olur. Bu durumda yeni açıklık da xn−x1x_n - x_1 olarak kalır, yani açıklık değişmez.
Açıklık, en büyük veri ile en küçük veri arasındaki farktır.
3
Yeni veri eklendiğinde standart sapmanın nasıl değiştiğini hesaplayın.
Yeni grubun ortalaması yine xˉ\bar{x} olur. Sapma kareleri toplamı ∑i=1n(xi−xˉ)2+(xˉ−xˉ)2=∑i=1n(xi−xˉ)2\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 + (\bar{x} - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 şeklinde değişmeden kalır. Ancak eleman sayısı nn'den n+1n+1'e çıktığı için standart sapma formülündeki payda (n−1n-1'den nn'ye) büyür. Pay sabit kalıp payda büyüdüğü için standart sapma değeri azalır.
Standart sapma, verilerin ortalamaya olan uzaklıklarının kareleri toplamının veri sayısının bir eksiğine bölümünün kareköküdür.

Key Concept

Aritmetik ortalamaya eşit veri eklenmesinin merkezi yayılım ölçülerine (açıklık ve standart sapma) etkisi.
Rate this question

Topics

Merkezi Yayılım Ölçüleri

More questions from this topic