Examkin

Question

Difficulty: MediumMerkezi Yayılım Ölçüleri

Aşağıdaki tabloda, küçükten büyüğe doğru sıralanmış bir veri grubundaki elemanlar ve bu elemanların frekansları (tekrar sayıları) verilmiştir:

Veri DeğeriFrekans
22
62
xx1

Bu veri grubunun açıklığı ile standart sapmasının toplamı 1010 olduğuna göre, xx kaçtır?

  1. A
    7
  2. B
    8
  3. 9Answer
  4. D
    11
  5. E
    19

Answer

9
Veri grubunun elemanları 2,2,6,6,92, 2, 6, 6, 9 olduğunda aritmetik ortalama 55 olur. Değerlerin ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı 3636 olup veri sayısının bir eksiği olan 44'e bölündüğünde varyans 99, standart sapma ise 9=3\sqrt{9} = 3 olarak hesaplanır. Veri grubunun açıklığı ise en büyük değer ile en küçük değerin farkı olan 9−2=79 - 2 = 7 olur. Açıklık ile standart sapmanın toplamı 7+3=107 + 3 = 10 eşitliğini sağladığı için doğru değer 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Veri grubunun elemanlarını belirleme ve aritmetik ortalamayı xx cinsinden yazma.
Veriler küçükten büyüğe sıralı olduğundan ve frekansları verildiğinden veri grubu: 2,2,6,6,x2, 2, 6, 6, x şeklindedir (x≥6x \ge 6). Aritmetik ortalama (xˉ\bar{x}): xˉ=2+2+6+6+x5=16+x5\bar{x} = \frac{2 + 2 + 6 + 6 + x}{5} = \frac{16 + x}{5} olarak bulunur.
Standart sapmayı hesaplamak için öncelikle veri grubunun aritmetik ortalamasını bulmamız gerekir.
2
Veri grubunun standart sapmasını (ss) xx cinsinden ifade etme.
Her bir verinin ortalamadan farkının kareleri toplamı: (2−xˉ)2+(2−xˉ)2+(6−xˉ)2+(6−xˉ)2+(x−xˉ)2(2 - \bar{x})^2 + (2 - \bar{x})^2 + (6 - \bar{x})^2 + (6 - \bar{x})^2 + (x - \bar{x})^2 İfadede xˉ=16+x5\bar{x} = \frac{16+x}{5} yazılıp gerekli cebirsel sadeleştirmeler yapıldığında bu toplam: 4(x2−8x+36)5\frac{4(x^2 - 8x + 36)}{5} olarak elde edilir. Standart sapma formülü s=∑(xi−xˉ)2n−1s = \sqrt{\frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} olduğundan: s=4(x2−8x+36)54=x2−8x+365s = \sqrt{\frac{\frac{4(x^2 - 8x + 36)}{5}}{4}} = \sqrt{\frac{x^2 - 8x + 36}{5}} bulunur.
Standart sapma formülünde veri sayısının bir eksiğine (5−1=45 - 1 = 4) bölme yapılarak karekök alınır.
3
Açıklığı belirleme ve verilen denklemi kurup çözme.
Veri grubunun açıklığı (en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark): R=x−2R = x - 2 Soruda verilen R+s=10R + s = 10 eşitliği kurulur: x−2+x2−8x+365=10  ⟹  x2−8x+365=12−xx - 2 + \sqrt{\frac{x^2 - 8x + 36}{5}} = 10 \implies \sqrt{\frac{x^2 - 8x + 36}{5}} = 12 - x Bu eşitliğin sağlanabilmesi için 12−x≥0  ⟹  x≤1212 - x \ge 0 \implies x \le 12 olmalıdır. Her iki tarafın karesi alındığında: x2−8x+365=(12−x)2\frac{x^2 - 8x + 36}{5} = (12 - x)^2 x2−8x+36=5(144−24x+x2)x^2 - 8x + 36 = 5(144 - 24x + x^2) 4x2−112x+684=0  ⟹  x2−28x+171=04x^2 - 112x + 684 = 0 \implies x^2 - 28x + 171 = 0 Bu denklemin çarpanları (x−9)(x−19)=0(x - 9)(x - 19) = 0 şeklindedir.
Açıklık ve standart sapmanın toplamı 10 olarak verilmiştir. Kareköklü bir denklemi çözmek için her iki tarafın karesi alınır.
4
Bulunan köklerin sınır şartlarını kontrol etme.
Denklemin kökleri x=9x = 9 veya x=19x = 19 olarak bulunur. Ancak başlangıçtaki köklü ifadede 12−x≥012 - x \ge 0 şartı olduğundan, x=19x = 19 değeri bu şartı sağlamaz (12−19=−7<012 - 19 = -7 < 0). Dolayısıyla tek geçerli çözüm x=9x = 9 olur.
Kareköklü bir ifadenin değeri negatif bir sayıya eşit olamayacağı için elde edilen köklerin kontrol edilmesi gerekir.

Key Concept

Standart sapma ve açıklık (merkezi yayılım ölçüleri) kavramlarının formülleriyle birlikte uygulanması ve kareköklü denklem çözümü ile sınır şartlarının kontrolü.
Rate this question

Topics

Merkezi Yayılım Ölçüleri

More questions from this topic