Bir şirketin staj programı kapsamında işe alınan birbirinden farklı 7 stajyer; A, B ve C d… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir şirketin staj programı kapsamında işe alınan birbirinden farklı $7$ stajyer; $A$ , $B$ ve $C$ departmanlarına yerleştirilecektir. Yerleştirme işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her departmana en az bir stajyer yerleştirilecektir.
* $A$ departmanına yerleştirilen stajyer sayısı, $B$ departmanına yerleştirilen stajyer sayısından fazla olacaktır.

Buna göre, bu $7$ stajyer departmanlara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

A
$357$
B
$462$
$707$ Answer
D
$1260$
E
$1806$

Answer

Verilen koşullara uyan toplam stajyer yerleştirme sayısı

707

olarak bulunur.

Doğru seçenekte belirtilen

707

değeri, verilen tüm koşulları sağlayan farklı yerleştirme durumlarının kombinasyon hesaplamalarının toplamıdır. Her departmana en az bir stajyer yerleştirilmesi ve

A

departmanındaki stajyer sayısının

B

'dekinden fazla olması koşuluyla stajyerler departmanlara

(2, 1, 4)

(3, 1, 3)

(4, 1, 2)

(5, 1, 1)

(3, 2, 2)

(4, 2, 1)

şeklinde gruplandırılabilir. Bu grupların seçim sayıları sırasıyla

105

140

105

42

210

105

olup, toplamları

707

'dir.

Step-by-Step Solution

Stajyerlerin departmanlara göre dağılım sayılarını belirlemek için

a + b + c = 7

denklemini sağlayan pozitif tam sayı üçl��lerini (

a, b, c

) bulmak.

Burada

a

b

c

sırasıyla

A

B

C

departmanlarına yerleştirilecek stajyer sayılarını göstermektedir.

Sorudaki departmanlara yerleştirilecek kişi sayılarını gruplandırmak için bu denklem kurulmalıdır.

Her departmana en az bir stajyer yerleştirilmesi (

a, b, c \ge 1

) ve

A

'daki stajyer sayısının

B

'dekinden fazla olması (

a > b

) koşullarına uyan tüm durumları listelemek.

Koşulları sağlayan (

a, b, c

) dağılımları şunlard��r:

(2, 1, 4)

(3, 1, 3)

(4, 1, 2)

(5, 1, 1)

(3, 2, 2)

(4, 2, 1)

Farklı durumların kombinasyonlarını ayrı ayrı hesaplayabilmek için geçerli say�� gruplarını belirlememiz gerekir.

Belirlenen her durum için stajyerlerin departmanlara seçim (kombinasyon) sayılarını hesaplamak.

Her bir durumun hesaplaması şu şekildedir:
-

(2, 1, 4)

için:

\binom{7}{2} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{4} = 21 \times 5 \times 1 = 105

(3, 1, 3)

için:

\binom{7}{3} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{3} = 35 \times 4 \times 1 = 140

(4, 1, 2)

için:

\binom{7}{4} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} = 35 \times 3 \times 1 = 105

(5, 1, 1)

için:

\binom{7}{5} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 21 \times 2 \times 1 = 42

(3, 2, 2)

için:

\binom{7}{3} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2} = 35 \times 6 \times 1 = 210

(4, 2, 1)

için:

\binom{7}{4} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 35 \times 3 \times 1 = 105

Kişler farklı olduğundan, her bir departmana hangi kişilerin yerleştirileceğini kombinasyon formülü

\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

ile seçmeliyiz.

Elde edilen tüm durumların kombinasyon değerlerini toplamak.

105 + 140 + 105 + 42 + 210 + 105 = 707

farklı yerleştirme şekli bulunur.

Durumlar birbirinden bağımsız (ayrık) olduğu için toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Key Concept

Kombinasyon (Grup Oluşturma ve Kısıtlı Dağılım)

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic