Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Problemleri

Bir sınıftaki öğrenciler, öğretmenlerine ortak bir hediye almak için hediyenin toplam ücretini aralarında eşit olarak paylaşmayı planlamışlardır. Ancak sınıftaki öğrencilerden 4'ü hediye ücretine katılmaktan vazgeçince, geriye kalan öğrencilerin her biri başlangıçta planlanandan 5 TL5\text{ TL} daha fazla ödemek zorunda kalmıştır.

Eğer bu 4 öğrenci hediye ücretine katılmasaydı fakat okul müdürü bu hediye için 160 TL160\text{ TL} katkıda bulunsaydı, katılan öğrencilerin her birinin ödeyeceği tutar başlangıçta planlanan tutardan 5 TL5\text{ TL} daha az olacaktı.

Buna göre, alınan hediyenin toplam ücreti kaç TL\text{TL}'dir?

  1. A
    120
  2. B
    240
  3. 400Answer
  4. D
    600
  5. E
    1120

Answer

Hediyenin toplam ücreti 400 TL'dir.
Kurulan iki bilinmeyenli denklem sistemi ortak çözüldüğünde, başlangıçtaki öğrenci sayısı 20 ve toplam hediye ücreti 400 TL olarak bulunmaktadır. Dolayısıyla 400 TL değerini gösteren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Sınıftaki toplam öğrenci sayısını NN, hediyenin toplam ücretini GG ve başlangıçta planlanan kişi başı düşen ücreti x=GNx = \frac{G}{N} olarak tanımlayıp ilk durum için denklem kuralım.
4 öğrenci katılmadığında kalan N−4N-4 öğrenci kişi başı x+5x + 5 TL öder. Buradan (N−4)⋅(GN+5)=G(N-4) \cdot \left(\frac{G}{N} + 5\right) = G elde edilir. Bu denklem açıldığında G−4GN+5N−20=G  ⟹  5N−20=4GNG - \frac{4G}{N} + 5N - 20 = G \implies 5N - 20 = \frac{4G}{N} bulunur.
Kişi sayısı ile kişi başına düşen ücretin çarpımı toplam hediye değerine eşit olmalıdır.
2
İkinci durum (4 öğrencinin katılmaması ve müdürün 160 TL katkı sağlaması) için denklem kuralım.
Bu durumda kalan N−4N-4 öğrenci toplam G−160G - 160 TL öder ve ki��i başı ücret x−5x - 5 TL olur. Buradan (N−4)⋅(GN−5)=G−160(N-4) \cdot \left(\frac{G}{N} - 5\right) = G - 160 elde edilir. Bu denklem açıldığında G−4GN−5N+20=G−160  ⟹  5N−20+4GN=160G - \frac{4G}{N} - 5N + 20 = G - 160 \implies 5N - 20 + \frac{4G}{N} = 160 bulunur.
Müdürün katkısı toplam fiyattan düşüldükten sonra kalan tutar katılan öğrencilerce paylaşılır.
3
Elde edilen iki denklemden yararlanarak NN ve GG değerlerini hesaplayalım.
Birinci denklemdeki 4GN=5N−20\frac{4G}{N} = 5N - 20 ifadesini ikinci denklemde yerine yazarsak: (5N−20)+(5N−20)=160  ⟹  2(5N−20)=160  ⟹  5N−20=80  ⟹  N=20(5N - 20) + (5N - 20) = 160 \implies 2(5N - 20) = 160 \implies 5N - 20 = 80 \implies N = 20 bulunur. Bu değeri birinci denklemde yerine yazdığımızda ise 4G20=80  ⟹  G=400\frac{4G}{20} = 80 \implies G = 400 TL elde edilir.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma metoduyla çözerek sonuca ulaşırız.

Key Concept

Değişken tanımlama ve iki bilinmeyenli denklem sistemleri yardımıyla sayı problemleri çözme.

Alternative Method

İlk durumda kişi başı ödeme planlanandan 5 TL fazla, ikinci durumda ise 5 TL azdır. Dolayısıyla iki durum arasındaki kişi başı ödeme farkı 10 TL'dir. İkinci durumda toplam ödenen miktar müdürün katkısıyla 160 TL azaldığına göre, ödeme yapan öğrenci sayısı 160 / 10 = 16 olmalıdır. Katılmayan 4 öğrenci olduğundan sınıf mevcudu 16 + 4 = 20 kişidir. İlk durumdan G/16 - G/20 = 5 eşitliği yazılırsa, payda eşitleme ile G/80 = 5 ve G = 400 TL bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic