Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Problemleri

Bir tiyatro salonundaki bir sırada bulunan koltuklar, soldan sağa doğru iki basamaklı abab sayısı ile başlayıp ardışık sayılarla numaralandırılmıştır. Bu sıradaki koltuklarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Sıradaki koltuk sayısı, ilk koltuğun numarası olan abab sayısının rakamları toplamının 44 katına eşittir.
* Sıradaki son koltuğun numarası, ilk koltuğun numarasının rakamlarının yer değiştirilmesiyle elde edilen iki basamaklı baba sayısıdır.

Buna göre, bu sıradaki toplam koltuk sayısı kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    24
  3. 28Answer
  4. D
    36
  5. E
    44

Answer

Toplam koltuk sayısı 28'dir.
Ardışık sayılarda terim sayısı formülü kullanılarak toplam koltuk sayısı ba−ab+1=9(b−a)+1ba - ab + 1 = 9(b-a) + 1 olarak bulunur. Bu sayı, ilk koltuğun rakamları toplamının 4 katı olan 4(a+b)4(a+b) ifadesine eşitlendiğinde 5b+1=13a5b + 1 = 13a denklemi elde edilir. aa ve bb sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere bu denklemi sağlayan tek değer çifti a=2,b=5a=2, b=5 olup, buradan toplam koltuk sayısı 4×(2+5)=284 \times (2+5) = 28 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Koltuk numaralarının basamak çözümlemesini yaparak toplam koltuk sayısı ifadesini yazalım.
İlk koltuk numarası ab=10a+bab = 10a + b, son koltuk numarası ba=10b+aba = 10b + a olur. Koltuklar ardışık numaralandırıldığı için bu sıradaki toplam koltuk sayısı: Terim Sayısı=Son Terim−I˙lk Terim+1=(10b+a)−(10a+b)+1=9(b−a)+1\text{Terim Sayısı} = \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1 = (10b + a) - (10a + b) + 1 = 9(b - a) + 1 olarak bulunur.
Ardışık sayıların kaç tane olduğunu bulmak için son terimden ilk terim çıkarılıp 1 eklenir.
2
Koltuk sayısının, ilk koltuk numarasının rakamları toplamının 4 katına eşit olduğu bilgisini kullanarak bir denklem kuralım.
Koltuk sayısı aynı zamanda 4(a+b)4(a + b) ifadesine eşittir. Buradan denklemimiz: 9(b−a)+1=4(a+b)  ⟹  9b−9a+1=4a+4b9(b - a) + 1 = 4(a + b) \implies 9b - 9a + 1 = 4a + 4b şeklinde kurulur.
Soruda verilen iki farklı koltuk sayısı tanımını birbirine eşitleyerek bilinmeyenler arasındaki ili��kiyi kurmak gerekir.
3
Elde edilen denklemi düzenleyelim ve rakam olma koşuluna uygun değerleri bulalım.
9b−9a+1=4a+4b  ⟹  5b+1=13a9b - 9a + 1 = 4a + 4b \implies 5b + 1 = 13a elde edilir. aa ve bb sıfırdan farklı birer rakam olmalıdır (çünkü abab ve baba iki basamaklı sayılardır):
- a=1  ⟹  5b=12a = 1 \implies 5b = 12 (rakam çözümü yok)
- a=2  ⟹  5b=25  ⟹  b=5a = 2 \implies 5b = 25 \implies b = 5 (uygun rakam çözümü)
- a=3  ⟹  5b=38a = 3 \implies 5b = 38 (rakam çözümü yok)
- a≥4a \ge 4 için de başka bir tek basamaklı bb rakam çözümü bulunmamaktadır.
Bilinmeyenler rakam olduğundan değer verme yöntemiyle tek ve benzersiz çözümü tespit etmek gerekir.
4
Bulduğumuz aa ve bb değerlerini kullanarak toplam koltuk sayısını hesaplayalım.
a=2a = 2 ve b=5b = 5 olduğuna göre, toplam koltuk sayısı: 4(a+b)=4(2+5)=4×7=284(a + b) = 4(2 + 5) = 4 \times 7 = 28 olarak hesaplanır.
Koltuk sayısı formülünde bulduğumuz rakamları yerine yazarak sonuca ulaşırız.

Key Concept

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve ardışık sayı dizilerinde terim sayısı hesabı yardımıyla denklem kurma.
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic