Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Sıfırdan farklı ve birbirinden farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
* ∣a+b∣<∣a∣+∣b∣|a + b| < |a| + |b|
* ∣a−c∣=∣a∣+∣c∣|a - c| = |a| + |c|
* ∣b−c∣=∣b∣−∣c∣|b - c| = |b| - |c|

bağıntıları sağlanmaktadır.

Buna göre,
I. a⋅c<0a \cdot c < 0
II. b⋅c<0b \cdot c < 0
III. ba<ca\frac{b}{a} < \frac{c}{a}

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIIAnswer
  5. E
    I, II ve III

Answer

Birinci ve üçüncü öncüller kesinlikle doğrudur.
Birinci bağıntıdan aa ile bb'nin zıt işaretli olduğu, ikinci bağıntıdan ise aa ile cc'nin zıt işaretli olduğu bulunur. Buradan bb ile cc'nin aynı işaretli olduğu anlaşılır. Dolayısıyla birinci öncül (a⋅c<0a \cdot c < 0) kesinlikle doğrudur, ikinci öncül (b⋅c<0b \cdot c < 0) ise kesinlikle yanlıştır. Üçüncü bağıntıdan ise ∣b∣>∣c∣|b| > |c| elde edilir. aa sayısının pozitif ve negatif olduğu iki durum ayrı ayrı incelendiğinde, üçüncü öncüldeki eşitsizliğin her iki durumda da korunduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
∣a+b∣<∣a∣+∣b∣|a + b| < |a| + |b| eşitsizli��ini analiz edelim.
a⋅b<0a \cdot b < 0
Mutlak değer özelliklerine göre, iki gerçel sayının toplamının mutlak değeri, mutlak değerlerinin toplamından kü��ükse bu sayılar zıt işaretli olmalıdır.
2
∣a−c∣=∣a∣+∣c∣|a - c| = |a| + |c| eşitliğini analiz edelim.
a⋅c<0a \cdot c < 0
İki gerçel sayının farkının mutlak değeri, mutlak değerlerinin toplamına eşitse bu sayılar başlangıç noktasına göre farklı taraflarda yer almalıdır, yani zıt işaretli olmalıdır.
3
aa, bb ve cc sayılarının işaret ilişkilerini belirleyelim.
bb ve cc aynı işaretlidir (b⋅c>0b \cdot c > 0).
aa sayısı hem bb ile hem de cc ile zıt işaretli olduğundan, bb ve cc sayıları aynı işaretli olmak zorundadır. Bu durum II. öncülün kesinlikle yanlış olduğunu gösterir.
4
∣b−c∣=∣b∣−∣c∣|b - c| = |b| - |c| eşitliğini inceleyelim.
∣b∣>∣c∣|b| > |c|
Eşitliğin sol tarafı pozitif veya sıfır olduğundan, sağ tarafı da pozitif veya sıfır olmalıdır. Sayılar birbirinden farklı olduğundan ∣b∣>∣c∣|b| > |c| elde edilir.
5
III. öncülü (b/a<c/ab/a < c/a) doğrulamak için aa sayısının işaretine göre iki durumu inceleyelim.
Her iki durumda da ba<ca\frac{b}{a} < \frac{c}{a} eşitsizliği sağlanır.
1. Durum: a>0a > 0 ise b<0b < 0 ve c<0c < 0 olur. ∣b∣>∣c∣|b| > |c| olduğundan b<c<0b < c < 0 yazılır. Eşitsizliği pozitif olan aa sayısına bölersek yön değişmez: b/a<c/ab/a < c/a olur.
2. Durum: a<0a < 0 ise b>0b > 0 ve c>0c > 0 olur. ∣b∣>∣c∣|b| > |c| olduğundan b>c>0b > c > 0 yazılır. Eşitsizliği negatif olan aa sayısına bölersek yön değişir: b/a<c/ab/a < c/a olur.

Key Concept

Mutlak değerin geometrik yorumu, üçgen eşitsizliği özellikleri ve eşitsizliklerde yön değiştirme kuralları.

Alternative Method

Sayı doğrusu üzerinde koşullara uygun değerler seçerek hızlıca eleme yapabilirsiniz. Örneğin, a=3a = 3 için b=−5b = -5 ve c=−2c = -2 değerleri seçildiğinde bağıntıların sağlandığı görülür. Bu değerler öncüllere uygulandığında birinci ve üçüncü öncüllerin doğru, ikinci öncülün ise yanlış olduğu görülerek seçenekler elenebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

More questions from this topic