Examkin

Question

Difficulty: HardMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Sıfırdan farklı ve birbirinden farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için
* a⋅b<0a \cdot b < 0
* ∣a∣<∣b∣|a| < |b|
* ∣a−c∣+∣b−c∣=∣a−b∣|a - c| + |b - c| = |a - b|

olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a⋅c>0a \cdot c > 0
II. ∣b∣>∣c∣|b| > |c|
III. a⋅(a+b)<0a \cdot (a + b) < 0

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız II
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. II ve IIIAnswer
  5. E
    I, II ve III

Answer

İkinci ve üçüncü ifadeler her zaman doğrudur.
Doğru seçenekte belirtilen ikinci ve üçüncü ifadeler, her iki durum için de mutlak değer özellikleri ve sayı doğrusu üzerindeki sıralama kuralları kullanılarak doğrulanmaktadır. c sayısı a ile b arasında yer aldığı için mutlak değeri her zaman mutlak değerce daha büyük olan b sayısından küçük olacaktır. Ayrıca a ile a ve b toplamı zıt işaretli olduğundan çarpımları her zaman negatiftir.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin geometrik yorumunu yapmak.
∣a−c∣+∣b−c∣=∣a−b∣|a - c| + |b - c| = |a - b| eşitliği, sayı doğrusunda cc sayısının aa ile bb arasında bulunduğunu (a<c<ba < c < b veya b<c<ab < c < a) gösterir.
Mutlak değerler farkı toplamı, iki uç nokta arasındaki mesafeye eşit olduğunda aradaki nokta bu iki noktanın oluşturduğu kapalı aralığın içinde yer almalıdır.
2
a ve b sayılarının işaret ve mutlak değerce büyüklük ilişkilerini incelemek.
a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan sayılar zıt işaretlidir. ∣a∣<∣b∣|a| < |b| olduğundan bb sayısı sıfıra daha uzaktır. İki durum mevcuttur:
Durum 1: a<0<ba < 0 < b ise −a<b  ⟹  a+b>0-a < b \implies a + b > 0 olur ve cc sayısı a<c<ba < c < b aralığındadır.
Durum 2: b<0<ab < 0 < a ise a<−b  ⟹  a+b<0a < -b \implies a + b < 0 olur ve cc sayısı b<c<ab < c < a aralığındadır.
Sayıların zıt işaretli olması ve mutlak değerce büyüklük sıralaması, toplamlarının işaretini belirlemeyi sağlar.
3
Öncüllerin doğruluğunu her iki durum için ayrı ayrı test etmek.
I. öncül: Durum 1'de a<0a < 0 iken a<c<ba < c < b aralığındaki cc sayısı pozitif veya negatif olabilir. Örneğin a=−2a = -2, b=5b = 5, c=1c = 1 için a⋅c<0a \cdot c < 0 olur. Her zaman doğru değildir.
II. öncül: Durum 1'de −b<a<c<b  ⟹  ∣c∣<∣b∣-b < a < c < b \implies |c| < |b| olur. Durum 2'de b<c<a<−b  ⟹  ∣c∣<∣b∣b < c < a < -b \implies |c| < |b| olur. Her zaman doğrudur.
III. öncül: Durum 1'de a<0a < 0 ve a+b>0  ⟹  a⋅(a+b)<0a + b > 0 \implies a \cdot (a+b) < 0 olur. Durum 2'de a>0a > 0 ve a+b<0  ⟹  a⋅(a+b)<0a + b < 0 \implies a \cdot (a+b) < 0 olur. Her zaman doğrudur.
Olası tüm durumları inceleyerek hangi öncüllerin kesinlikle sağlandığını tespit etmek gerekir.

Key Concept

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık yorumu ve mutlak değerli eşitsizliklerin işaret analizinde kullanılması.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

More questions from this topic