Examkin

Question

Difficulty: Very hardSayı Problemleri

Bir bilgisayar oyununda yan yana dizilmiş 120 adet basamak bulunmaktadır. Bu oyundaki bir karakter başlangıçta 1. basamakta durmaktadır. Karakterin hareket kuralları şu şekildedir:

* İleriye doğru attığı her adımda ya 55 basamak ya da 88 basamak ileri gitmektedir.
* Geriye doğru attığı her adımda ya 33 basamak ya da 77 basamak geri gitmektedir.
* Karakterin oyun boyunca 1. basamaktan daha geriye gitmesi veya 120. basamaktan daha ileriye gitmesi yasaktır.

Karakter toplam 15 adım atarak tekrar başladığı 1. basamağa döndüğüne göre, oyun boyunca bastığı tüm basamakların (başlangıçtaki ve her adımdan sonraki basamaklar dahil) numaraları toplamı en fazla kaç olabilir?

  1. A
    394
  2. B
    406
  3. 436Answer
  4. D
    420
  5. E
    435

Answer

Maksimum basamak numaraları toplamı 436 olmalıdır.
Doğru cevap olan 436 değeri; karakterin atabileceği izin verilen adım kombinasyonları (77 adet +8+8 ve 88 adet −7-7 adımı) belirlendikten sonra, basamak numaraları toplamını maksimize etmek amacıyla tüm ileri adımların en başta ve tüm geri adımların en sonda atılmasıyla elde edilen basamak değerlerinin toplamıdır.

Step-by-Step Solution

1
Değişkenlerin tanımlanması ve denklem sisteminin kurulması
İleri atılan 55 ve 88 basamaklık adım sayıları sırasıyla x1x_1 ve x2x_2; geri atılan 33 ve 77 basamaklık adım sayıları sırasıyla y1y_1 ve y2y_2 olsun. Bu durumda toplam adım sayısı: x1+x2+y1+y2=15x_1 + x_2 + y_1 + y_2 = 15 olur. Net yer değiştirme sıfır olduğundan: 5x1+8x2−3y1−7y2=05x_1 + 8x_2 - 3y_1 - 7y_2 = 0 denklemi elde edilir.
Karakterin toplam adım sayısı ve başlangıç noktasına geri dönmesi koşullarını matematiksel olarak ifade etmek gerekir.
2
Diophant denklem sisteminin sadeleştirilmesi
y2=15−x1−x2−y1y_2 = 15 - x_1 - x_2 - y_1 ifadesini yer değiştirme denkleminde yerine yazalım: 5x1+8x2−3y1−7(15−x1−x2−y1)=0⇒12x1+15x2+4y1=1055x_1 + 8x_2 - 3y_1 - 7(15 - x_1 - x_2 - y_1) = 0 \Rightarrow 12x_1 + 15x_2 + 4y_1 = 105 denklemi bulunur.
Bilinmeyen sayısını azaltarak tam sayı çözümlerini bulmayı kolaylaştırmak hedeflenir.
3
Denklem çözümlerinin analizi
12x1+15x2+4y1=10512x_1 + 15x_2 + 4y_1 = 105 denkleminde 12x1,15x212x_1, 15x_2 ve 105105 sayıları 33'ün katı olduğundan 4y14y_1 de 33'ün katı olmalıdır. Buradan y1=3ky_1 = 3k (k≥0k \geq 0) yazılabilir. Denklem 33 ile sadeleştirilirse: 4x1+5x2+4k=35⇒4(x1+k)+5x2=354x_1 + 5x_2 + 4k = 35 \Rightarrow 4(x_1 + k) + 5x_2 = 35 olur. 5x2≤35⇒x2≤75x_2 \leq 35 \Rightarrow x_2 \leq 7 ve 5x2≡35≡3(mod4)⇒x2≡3(mod4)5x_2 \equiv 35 \equiv 3 \pmod 4 \Rightarrow x_2 \equiv 3 \pmod 4 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan x2x_2 değerleri 77 ve 33'tür.
Tam sayı katsayılı denklemin modüler aritmetik özellikleri kullanılarak tüm olası adım kombinasyonları tespit edilir.
4
Adım kombinasyonlarının belirlenmesi
Eğer x2=7x_2 = 7 ise, 4(x1+k)=0⇒x1=04(x_1 + k) = 0 \Rightarrow x_1 = 0 ve k=0⇒y1=0k = 0 \Rightarrow y_1 = 0 olur. Buradan y2=15−7=8y_2 = 15 - 7 = 8 bulunur. (Kombinasyon: 7 adet +8, 8 adet -7). Eğer x2=3x_2 = 3 ise, 4(x1+k)=20⇒x1+k=54(x_1 + k) = 20 \Rightarrow x_1 + k = 5 olur. Buradan y1=3ky_1 = 3k için farklı çözümler (x1=5,y1=0,y2=7x_1=5, y_1=0, y_2=7 vb.) üretilebilir.
Maksimum basamak değerini verebilecek aday adım sayı grupları netleştirilir.
5
Sıralama optimizasyonu ve basamak toplamının hesaplanması
Basamak numaralarının toplamını en büyük yapmak için en büyük ileri adımlar en önce, geri adımlar ise en sonda atılmalıdır. 7 adet +8 ve 8 adet -7 adımı için en yüksek sıralama: 77 kez +8, ardından 88 kez -7 adımıdır. Bu durumda basamak sıralaması: S0=1S_0 = 1, S1=9S_1 = 9, S2=17S_2 = 17, S3=25S_3 = 25, S4=33S_4 = 33, S5=41S_5 = 41, S6=49S_6 = 49, S7=57S_7 = 57, S8=50S_8 = 50, S9=43S_9 = 43, S10=36S_{10} = 36, S11=29S_{11} = 29, S12=22S_{12} = 22, S13=15S_{13} = 15, S14=8S_{14} = 8, S15=1S_{15} = 1 olur. Bu basamakların tamamı [1,120][1, 120] aralığında kaldığından kurallara uygundur. Toplamları ise: 1+9+17+25+33+41+49+57+50+43+36+29+22+15+8+1=4361+9+17+25+33+41+49+57+50+43+36+29+22+15+8+1 = 436 bulunur. Diğer kombinasyonlar incelendiğinde daha küçük toplamlar elde edilir.
Prefix toplamlarını en yüksek seviyede tutacak şekilde sıralama yapılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Sayı ve denklem kurma problemleri ile Diophant denklemleri kullanarak optimizasyon yapma.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic