Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Problemleri

Bir tarım kooperatifi, ortaklarından topladığı kırmızı ve yeşil mercimek paketlerini nakliye etmek amacıyla iki farklı boyuttaki kolilere yerleştirecektir. Kolilerin her birine konulabilecek maksimum paket sayıları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Koli TürüKırmızı Mercimek PaketiYeşil Mercimek Paketi
Küçük Koli46
Büyük Koli1012

Kooperatif; elindeki toplam 180180 paket kırmızı mercimek ile 168168 paket yeşil mercimek paketinin tamamını, her koli tamamen dolu olacak ve kolilerde farklı türde mercimek paketleri karışık bulunmayacak şekilde yerleştirmiştir.

Kırmızı mercimekler için kullanılan toplam koli sayısı, yeşil mercimekler için kullanılan toplam koli sayısına eşit olduğuna göre, bu işlemde kullanılan toplam büyük koli sayısı en az kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    11
  3. 13Answer
  4. D
    18
  5. E
    28

Answer

Büyük kolilerin toplam sayısı en az 13 olmalıdır.
Kırmızı mercimek koli sayıları için xb=2ax_b = 2a ve xk=45−5ax_k = 45 - 5a; yeşil mercimek koli sayıları için yb=by_b = b ve yk=28−2by_k = 28 - 2b bağıntıları elde edilir. Koli sayılarının eşitliğinden (45−3a=28−b45 - 3a = 28 - b) b=3a−17b = 3a - 17 bulunur. b≥0b \ge 0 olması gerektiğinden a≥6a \ge 6 olur. Toplam büyük koli sayısı 2a+b=5a−172a + b = 5a - 17 olup a=6a = 6 için bu değer en az 13 olarak bulunur. Bu durumda tüm koli sayıları tam sayı ve negatif dışı şartları sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Kırmızı mercimek paketleri için kullanılan küçük (xkx_k) ve büyük (xbx_b) koli sayıları cinsinden denklem kurulur ve sadeleştirilir.
4xk+10xb=180  ⟹  2xk+5xb=904x_k + 10x_b = 180 \implies 2x_k + 5x_b = 90 denklemine ulaşılır.
Toplam kırmızı mercimek paketi sayısı ile koli kapasiteleri arasındaki ilişkiyi kurmak için.
2
xkx_k ve xbx_b değerlerinin tam sayı olma şartı kullanılarak genel çözüm parametresi belirlenir.
2xk2x_k çift olduğundan 5xb5x_b de çift olmalıdır. Buradan xb=2ax_b = 2a (aa negatif olmayan bir tam sayı) yazılırsa, xk=45−5ax_k = 45 - 5a bulunur. Kırmızı mercimekler için kullanılan toplam koli sayısı xk+xb=45−3ax_k + x_b = 45 - 3a olur (xk≥0  ⟹  a≤9x_k \ge 0 \implies a \le 9).
Koli sayılarının tam sayı olması gerektiğinden parametrik bir çözüm elde etmek için.
3
Yeşil mercimek paketleri için kullanılan küçük (yky_k) ve büyük (yby_b) koli sayıları cinsinden denklem kurulur, sadeleştirilir ve toplam koli sayısı ifade edilir.
6yk+12yb=168  ⟹  yk+2yb=286y_k + 12y_b = 168 \implies y_k + 2y_b = 28 denklemine ulaşılır. yb=by_b = b (bb negatif olmayan bir tam sayı) yazılırsa, yk=28−2by_k = 28 - 2b olur. Yeşil mercimekler için kullanılan toplam koli sayısı yk+yb=28−by_k + y_b = 28 - b olur (yk≥0  ⟹  b≤14y_k \ge 0 \implies b \le 14).
Yeşil mercimek koli sayıları ile kırmızı mercimek koli sayıları arasında bağlantı kurmak için.
4
Kırmızı ve yeşil mercimekler için kullanılan toplam koli sayılarının eşitliği kullanılarak parametreler arası ilişki ve sınır değerleri belirlenir.
45−3a=28−b  ⟹  b=3a−1745 - 3a = 28 - b \implies b = 3a - 17 elde edilir. b≥0b \ge 0 olması gerektiğinden 3a−17≥0  ⟹  3a≥17  ⟹  a≥63a - 17 \ge 0 \implies 3a \ge 17 \implies a \ge 6 (tam sayı olarak) bulunur.
Koli sayılarının eşitliği ve pozitifliği üzerinden değişkenlerin alabileceği değer aralığını bulmak için.
5
Toplam büyük koli sayısını veren ifade oluşturulur ve en küçük değeri hesaplanır.
Toplam büyük koli sayısı xb+yb=2a+b=2a+(3a−17)=5a−17x_b + y_b = 2a + b = 2a + (3a - 17) = 5a - 17 olur. Bu ifadenin en küçük değeri için aa yerine en küçük değeri olan 66 yazılırsa, 5(6)−17=135(6) - 17 = 13 büyük koli elde edilir.
Büyük koli sayısını en aza indiren parametre değerini yerine koymak için.

Key Concept

İki bilinmeyenli doğrusal denklem sistemlerinde tam sayı çözümleri ve optimizasyon problemleri.
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic