Examkin

Question

Difficulty: HardBirinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere,
(a−1)x+3y=b(a - 1)x + 3y = b
4x+(a+3)y=84x + (a + 3)y = 8
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Buna göre,
ax+2y=10ax + 2y = 10
6x+by=c6x + by = c
denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, cc gerçel sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
  1. A
    5
  2. B
    10
  3. C
    15
  4. 20Answer
  5. E
    40

Answer

İkinci denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için değişkenlerin katsayıları oranı birbirine eşit olmalı, ancak bu oran sabit terimlerin oranından farklı olmalıdır. Bu koşulu bozan ve sistemi sonsuz çözümlü hale getiren c değeri 20 olduğundan, c sayısı 20 olamaz.
Birinci denklem sisteminin sonsuz elemanlı çözüm kümesine sahip olması için katsayılar oranı birbirine eşit olmalıdır. Buradan a=3a = 3 ve b=4b = 4 pozitif tam sayı değerleri bulunur. İkinci denklem sisteminde bu değerler yerine yazıldığında, sistemin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için değişkenlerin katsayıları oranı eşit olmalı (3/6=2/4=1/23/6 = 2/4 = 1/2), ancak sabit terimlerin oranı bu orandan farklı olmalıdır (10/c≠1/210/c \neq 1/2). Bu durum c≠20c \neq 20 olmasını gerektirir. Dolayısıyla, cc gerçel sayısı 2020 değerini alamaz.

Step-by-Step Solution

1
Birinci denklem sisteminin sonsuz elemanlı çözüm kümesine sahip olması için katsayılar oranını kurun.
a−14=3a+3=b8\frac{a-1}{4} = \frac{3}{a+3} = \frac{b}{8}
İki bilinmeyenli doğrusal denklem sisteminin sonsuz çözümlü olması, iki doğrunun çakışık olması demektir. Bu durumda x ve y değişkenlerinin katsayıları oranı, sabit terimlerin oranına eşit olmalıdır.
2
a−14=3a+3\frac{a-1}{4} = \frac{3}{a+3} eşitliğini kullanarak aa değerini bulun.
(a−1)(a+3)=12  ⟹  a2+2a−3=12  ⟹  a2+2a−15=0  ⟹  (a+5)(a−3)=0(a-1)(a+3) = 12 \implies a^2 + 2a - 3 = 12 \implies a^2 + 2a - 15 = 0 \implies (a+5)(a-3) = 0. aa pozitif tam sayı olduğundan a=3a = 3 bulunur.
aa değerini belirlemek için içler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden denklemi çözeriz ve pozitif tam sayı koşulunu uygularız.
3
a−14=b8\frac{a-1}{4} = \frac{b}{8} eşitliğini kullanarak bb değerini bulun.
a=3a = 3 için 3−14=b8  ⟹  24=b8  ⟹  b=4\frac{3-1}{4} = \frac{b}{8} \implies \frac{2}{4} = \frac{b}{8} \implies b = 4 bulunur.
bb değerini elde etmek için değişkenlerin katsayıları arasındaki bilinen oranı sabit terimlerin oranına eşitleriz.
4
Bulunan a=3a = 3 ve b=4b = 4 değerlerini ikinci denklem sisteminde yerine yazarak çözüm kümesinin boş küme olma koşulunu uygulayın.
İkinci sistem:
3x+2y=103x + 2y = 10
6x+4y=c6x + 4y = c
olur. Sistemin çözüm kümesinin boş küme olması için doğruların paralel olması gerekir:
36=24≠10c  ⟹  12≠10c  ⟹  c≠20\frac{3}{6} = \frac{2}{4} \neq \frac{10}{c} \implies \frac{1}{2} \neq \frac{10}{c} \implies c \neq 20 elde edilir.
Doğruların paralel olup kesişmemesi (çözüm kümesinin boş küme olması) için katsayılar oranı eşit olmalı, fakat sabitlerin oranı bu orandan farklı olmalıdır. c=20c = 20 durumunda doğrular çakışır ve çözüm kümesi sonsuz elemanlı olur.

Key Concept

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerinin Çözüm Kümesi Durumları
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri

More questions from this topic