Examkin

Question

Difficulty: HardSayı Problemleri

Bir sınıftaki öğrenciler, öğretmenlerine ortak bir hediye almaya karar vermiş ve hediyenin ücretini aralarında eşit olarak payla��mayı planlamışlardır. Ancak hediye alınırken aşağıdaki durumlar gerçekleşmiştir:

* Sınıftaki öğrencilerin bir kısmı para vermeyi kabul etmemiş, bu yüzden para vermeyi kabul eden öğrencilerin her biri başlangıçta planlanandan 1515 TL daha fazla para vermiştir.
* Daha sonra, para vermeyi kabul etmeyen öğrencilerden 33'ü fikir değiştirerek hediye ��cretine katılmış ve başlangıçta planlanan kişi başı tutar kadar ödeme yapmışlardır.
* Bunun üzerine, başlangıçta para vermeyi kabul eden öğrenciler kendi aralarında tekrar bir hesaplama yapmış ve her birinin son durumda ödediği tutar, ilk planlanan kişi başı tutardan 1010 TL fazla olmuştur.

Son durumda başlangıçta para vermeyi kabul eden öğrencilerin ödediği toplam tutar 225225 TL olduğuna göre, bu hediyenin toplam fiyatı kaç TL'dir?

  1. A
    240
  2. 270Answer
  3. C
    300
  4. D
    320
  5. E
    360

Answer

Toplam hediye fiyatı 270 TL'dir.
Doğru seçenekte belirtilen 270 değeri, sınıftaki toplam öğrenci sayısı 18 ve planlanan kişi başı tutar 15 TL olarak bulunduğunda hediyenin toplam fiyatına (18⋅15=27018 \cdot 15 = 270) eşit olur. Bu durumda 9 öğrenci katılmadığında kişi başı 30 TL (15+1515 + 15 TL) ödenir. Daha sonra 3 kişi katıldığında kalan 225 TL'yi 9 kişi paylaşarak kişi başı 25 TL (15+1015 + 10 TL) öder ve tüm koşullar sağlanır.

Step-by-Step Solution

1
Sınıftaki toplam öğrenci sayısına NN, başlangıçta planlanan kişi başı tutara xx ve para vermeyi kabul etmeyen öğrenci sayısına kk diyelim. Toplam hediye fiyatı P=N⋅xP = N \cdot x olur. İlk durumda N−kN-k kişi katıldığı için (N−k)(x+15)=N⋅x(N-k)(x+15) = N \cdot x denklemi yazılır.
15(N−k)=kx15(N-k) = kx eşitliği elde edilir.
Kişi sayısı azaldığında kişi başına düşen ücretin artış miktarını veren ilk denklemi kurmak için.
2
Fikir değiştiren 3 öğrenci xx TL ödedikten sonra kalan tutarı başlangıçta kabul eden N−kN-k kişi paylaşmıştır. Son durumda bu kişilerin her biri x+10x+10 TL ödediğine göre (N−k)(x+10)+3x=N⋅x(N-k)(x+10) + 3x = N \cdot x denklemi yazılır.
10(N−k)=(k−3)x10(N-k) = (k-3)x eşitliği elde edilir.
Fikir değiştiren öğrencilerin ödemelerinden sonra oluşan yeni durumu ifade eden ikinci denklemi kurmak için.
3
Elde edilen iki eşitlik taraf tarafa oranlanır: 15(N−k)10(N−k)=kx(k−3)x\frac{15(N-k)}{10(N-k)} = \frac{kx}{(k-3)x}
32=kk−3  ⟹  3k−9=2k  ⟹  k=9\frac{3}{2} = \frac{k}{k-3} \implies 3k - 9 = 2k \implies k = 9 bulunur.
Ortak değişkenleri sadeleştirerek başlangıçta katılmayan öğrenci sayısını bulmak için.
4
Son durumda başlangıçta kabul eden öğrencilerin ödediği toplam tutar 225 TL olarak verilmiştir. Buna göre (N−k)(x+10)=225(N-k)(x+10) = 225 yazılır. k=9k=9 yazılarak (N−9)(x+10)=225(N-9)(x+10) = 225 elde edilir. Ayrıca birinci denklemde k=9k=9 yazılırsa 15(N−9)=9x  ⟹  N−9=35x15(N-9) = 9x \implies N-9 = \frac{3}{5}x olur. Bu ifade yerine yazıldığında 35x(x+10)=225  ⟹  x(x+10)=375\frac{3}{5}x(x+10) = 225 \implies x(x+10) = 375 elde edilir.
x2+10x−375=0  ⟹  (x+25)(x−15)=0x^2 + 10x - 375 = 0 \implies (x+25)(x-15) = 0 denklemi üzerinden pozitif kök x=15x = 15 ve N=18N = 18 olarak bulunur.
Kişi başı ücreti ve toplam öğrenci sayısını belirlemek için.
5
Toplam hediye fiyatını bulmak için P=N⋅xP = N \cdot x formülünde değerler yerine yazılır.
P=18⋅15=270P = 18 \cdot 15 = 270 TL bulunur.
Hediyenin toplam fiyatına ulaşmak için.

Key Concept

Sayı problemlerinde bilinmeyenleri doğru tanımlama, oran-orantı ilişkilerini kurma ve denklem sistemlerini sadeleştirme yöntemiyle çözme.

Alternative Method

Denklemleri çözmek yerine seçeneklerde verilen toplam tutarlar üzerinden gidilerek sağlama yapılabilir. Örneğin, toplam tutar 270 TL olarak kabul edilirse, denklemlerdeki kişi başı artış miktarları ve ödenen toplam tutarlar test edilerek daha hızlı doğrulanabilir.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Problemleri

More questions from this topic