Examkin

Question

Difficulty: MediumÇarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0
eşitliği veriliyor.
Buna göre,
x2+y2xy\frac{x^2 + y^2}{xy}
ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
  1. A
    −32-\frac{3}{2}
  2. 12\frac{1}{2}Answer
  3. C
    32\frac{3}{2}
  4. D
    −12-\frac{1}{2}
  5. E
    52\frac{5}{2}

Answer

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 12\frac{1}{2}'dir.
Verilen denklem çarpanlarına ayrıldığında (x−2y)(x+y)=0(x-2y)(x+y) = 0 elde edilir. Bu durumda x=2yx = 2y veya x=−yx = -y olmalıdır. İstenen ifadede xx yerine 2y2y yazıldığında 52\frac{5}{2} değeri, xx yerine −y-y yazıldığında ise −2-2 değeri elde edilir. Bu iki değerin toplamı 12\frac{1}{2} olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırırız.
x2−xy−2y2=(x−2y)(x+y)=0x^2 - xy - 2y^2 = (x - 2y)(x + y) = 0 elde edilir.
xx ile yy değişkenleri arasındaki ilişkileri tespit etmek.
2
Elde edilen çarpanları sıfıra eşitleyerek olası durumları belirleriz.
x=2yx = 2y veya x=−yx = -y bulunur.
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Her bir durumu x2+y2xy\frac{x^2 + y^2}{xy} ifadesinde yerine yazıp değerleri hesaplarız.
x=2yx = 2y için (2y)2+y2(2y)y=5y22y2=52\frac{(2y)^2 + y^2}{(2y)y} = \frac{5y^2}{2y^2} = \frac{5}{2} ve x=−yx = -y için (−y)2+y2(−y)y=2y2−y2=−2\frac{(-y)^2 + y^2}{(-y)y} = \frac{2y^2}{-y^2} = -2 elde edilir.
Değişken dönüşümü ile rasyonel ifadenin sayısal değerlerini bulmak.
4
Elde edilen değerleri toplarız.
52+(−2)=12\frac{5}{2} + (-2) = \frac{1}{2} bulunur.
Soruda istenen toplam sonucuna ulaşmak.

Key Concept

İki değişkenli ikinci dereceden ifadelerin çarpanlarına ayrılması ve rasyonel ifadelerde yerine koyma yöntemi.

Alternative Method

Verilen x2−xy−2y2=0x^2 - xy - 2y^2 = 0 denkleminin her iki tarafı y2y^2 ile bölündüğünde t=xyt = \frac{x}{y} değişken dönüşümüyle t2−t−2=0t^2 - t - 2 = 0 elde edilir. Bu denklemin kökleri t=2t = 2 ve t=−1t = -1 olur. İstenen ifade ise x2+y2xy=xy+yx=t+1t\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = t + \frac{1}{t} şeklinde yazılabilir. t=2t = 2 için 2+12=522 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} ve t=−1t = -1 için −1+1−1=−2-1 + \frac{1}{-1} = -2 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 52−2=12\frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2} bulunur.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

More questions from this topic