Examkin

Question

Difficulty: MediumMerkezi Yayılım Ölçüleri

Bir veri grubundaki sayılar 3,3,5,7,x3, 3, 5, 7, x tam sayılarından oluşmaktadır. Bu veri grubunun standart sapması 22 olduğuna göre, xx'in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Answer: 9

Answer

9
Verilen veri grubunun standart sapması 2 ise varyansı 4'tür. Aritmetik ortalama xx cinsinden ifade edilip varyans formülünde yerine konulduğunda x2−9x+14=0x^2 - 9x + 14 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri olan 2 ve 7 değerleri veri grubunu tamamlayan tam sayılardır. Bu değerlerin toplamı 9'dur.

Step-by-Step Solution

1
Veri grubunun aritmetik ortalamasını xx cinsinden ifade edin.
xˉ=3+3+5+7+x5=18+x5\bar{x} = \frac{3 + 3 + 5 + 7 + x}{5} = \frac{18 + x}{5}
Standart sapmayı hesaplamak için öncelikle aritmetik ortalamanın bulunması gerekir.
2
Standart sapma formülünü yazarak varyans değerini belirleyin.
s2=22=4  ⟹  ∑i=15(xi−xˉ)25−1=4  ⟹  ∑i=15(xi−xˉ)2=16s^2 = 2^2 = 4 \implies \frac{\sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2}{5 - 1} = 4 \implies \sum_{i=1}^5 (x_i - \bar{x})^2 = 16
Standart sapmanın karesi varyanstır ve paydadaki serbestlik derecesi (n−1=4n-1 = 4) karşıya çarpım olarak geçirilerek sapma kareleri toplamı elde edilir.
3
Verileri varyans formülünde yerine yerleştirerek xx'e bağlı bir denklem oluşturun.
2⋅(3−18+x5)2+(5−18+x5)2+(7−18+x5)2+(x−18+x5)2=162 \cdot \left(3 - \frac{18+x}{5}\right)^2 + \left(5 - \frac{18+x}{5}\right)^2 + \left(7 - \frac{18+x}{5}\right)^2 + \left(x - \frac{18+x}{5}\right)^2 = 16

Sadeleştirildiğinde:

x2−9x+14=0x^2 - 9x + 14 = 0
Verilerin ortalamadan farklarının kareleri toplamını hesaplayıp varyans eşitliğini kullanarak çözüme gitmek.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırıp çözün.
(x−7)(x−2)=0  ⟹  x1=2 ve x2=7(x-7)(x-2) = 0 \implies x_1 = 2 \text{ ve } x_2 = 7
xx'in alabileceği olası tam sayı değerlerini belirlemek.
5
xx için bulunan tam sayı değerlerini toplayın.
2+7=92 + 7 = 9
Soruda bizden istenen, xx'in alabileceği farklı tam sayı değerlerinin toplamıdır.

Key Concept

Standart sapma ve varyans hesaplama adımları.

Alternative Method

Denklemi uzun uzadıya çözmek yerine, standart sapmanın 2 çıkabilmesi için varyansın 4 olması gerektiği bilgisiyle tam sayı değerleri denenebilir. x=7x=7 için veri grubu 3,3,5,7,73, 3, 5, 7, 7 olur. Aritmetik ortalaması 5, sapma kareleri toplamı 4+4+0+4+4=164+4+0+4+4=16 ve varyansı 16/4=416/4 = 4 (standart sapma 2) olarak doğrulanır. Benzer şekilde x=2x=2 için veri grubu 2,3,3,5,72, 3, 3, 5, 7 olur. Aritmetik ortalaması 4, sapma kareleri toplamı 4+1+1+1+9=164+1+1+1+9=16 ve varyansı 16/4=416/4 = 4 olarak doğrulanır. Bu iki değerin toplamından 9 elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Merkezi Yayılım Ölçüleri

More questions from this topic