Examkin

Soru

Zorluk: ZorNoktanın Doğruya Uzaklığı

Analitik düzlemin ikinci bölgesinde bulunan bir P(a,4)P(a, 4) noktasının, 3x−4y+28=03x - 4y + 28 = 0 doğrusuna olan uzaklığı 33 birimdir.

Buna göre, PP noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

  1. A
    -25
  2. B
    -7
  3. -5Cevap
  4. D
    5
  5. E
    7

Cevap

Koordinatlar�� toplamı −5-5 olan değer doğrudur.
Doğru cevap, koordinatları toplamı −5-5 olan seçenektir. P(a,4)P(a, 4) noktası analitik düzlemin ikinci bölgesinde olduğundan apsisi negatif olmalıdır (a<0a < 0). Noktanın doğruya uzaklığı formülü olan d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} bağıntısı uygulandığında, uzaklık 3=∣3a−4(4)+28∣32+(−4)23 = \frac{|3a - 4(4) + 28|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} olarak ifade edilir. Paydadaki köklü ifade 9+16=5\sqrt{9+16}=5 değerini aldığından, denklem ∣3a+12∣=15|3a + 12| = 15 halini alır. Buradan iki durum ortaya çıkar: 3a+12=15  ⟹  a=13a+12 = 15 \implies a = 1 (bu değer birinci bölgededir, a<0a < 0 şartını sağlamaz) veya 3a+12=−15  ⟹  a=−93a+12 = -15 \implies a = -9 olur. Bu durumda ikinci bölgedeki nokta P(−9,4)P(-9, 4) olarak bulunur ve koordinatları toplamı −9+4=−5-9 + 4 = -5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Noktanın doğruya olan uzaklık formülünü yazıp verilen koordinatları ve doğru denklemini yerine yerleştirin.
d=∣3(a)−4(4)+28∣32+(−4)2=3d = \frac{|3(a) - 4(4) + 28|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 3
P(a,4)P(a, 4) noktasının 3x−4y+28=03x - 4y + 28 = 0 doğrusuna olan uzaklığını cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Denklemin paydasını hesaplayıp mutlak değerli ifadeyi sadeleştirin.
∣3a−16+28∣9+16=3  ⟹  ∣3a+12∣5=3  ⟹  ∣3a+12∣=15\frac{|3a - 16 + 28|}{\sqrt{9 + 16}} = 3 \implies \frac{|3a + 12|}{5} = 3 \implies |3a + 12| = 15
Paydadaki dik kenarların kareleri toplamının karekökünü hesaplayarak mutlak değerli denklemi yalnız bırakmak için.
3
Mutlak değerli denklemi açarak aa için olası iki değeri hesaplayın.
3a+12=15  ⟹  3a=3  ⟹  a=13a + 12 = 15 \implies 3a = 3 \implies a = 1 veya 3a+12=−15  ⟹  3a=−27  ⟹  a=−93a + 12 = -15 \implies 3a = -27 \implies a = -9
Mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif veya negatif olma durumlarını ayrı ayrı değerlendirmek için.
4
Noktanın bulunduğu bölge koşulunu kontrol ederek uygun olan aa değerini seçin ve koordinatlar toplamını bulun.
P(a,4)P(a, 4) noktası ikinci bölgede olduğundan apsisi negatif olmalıdır (a<0a < 0). Bu nedenle a=−9a = -9 seçilir. Koordinatlar toplamı: −9+4=−5-9 + 4 = -5 olur.
İkinci bölgede apsis değerinin negatif olması gerektiğinden a=1a = 1 elenir ve doğru nokta P(−9,4)P(-9, 4) olarak belirlenip koordinatları toplanır.

Anahtar Kavram

Noktanın Doğruya Uzaklığı ve Bölge Koordinat İşaretleri İlişkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Noktanın Doğruya Uzaklığı

Bu konudan daha fazla soru