Examkin

Soru

Zorluk: ZorNoktanın Doğruya Uzaklığı

Analitik düzlemde, köşeleri A(1,2)A(1, 2) ve B(5,−1)B(5, -1) olan bir ABCABC üçgeninin CC köşesi y=3y = 3 doğrusu üzerindedir. ABCABC üçgeninin alanı 1010 birimkare olduğuna göre, CC noktasının apsisi aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    −293-\frac{29}{3}
  2. B
    −133-\frac{13}{3}
  3. C
    −113-\frac{11}{3}
  4. −7-7Cevap
  5. E
    −1-1

Cevap

−7-7
Üçgenin alanı 1010 birimkare ve taban uzunluğu ∣AB∣=5|AB| = 5 birim olduğundan, CC köşesinin ABAB doğrusuna olan dik uzaklığı 44 birim olmalıdır. ABAB doğrusunun denklemi 3x+4y−11=03x + 4y - 11 = 0 olarak bulunur. C(k,3)C(k, 3) noktasının bu doğruya olan dik uzaklığı formülü uygulandığında ∣3k+1∣=20|3k+1| = 20 eşitliğine ulaşılır. Buradan 3k+1=−203k+1 = -20 durumu incelendiğinde k=−7k = -7 apsis değeri elde edilir. Bu değer seçeneklerde yer alan doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
A(1,2)A(1, 2) ve B(5,−1)B(5, -1) noktalarından geçen ABAB doğrunun denklemini ve [AB][AB] kenarının uzunluğunu bulun.
Eğim m=−1−25−1=−34m = \frac{-1 - 2}{5 - 1} = -\frac{3}{4} olup doğru denklemi 3x+4y−11=03x + 4y - 11 = 0 ve taban uzunluğu ∣AB∣=(5−1)2+(−1−2)2=5|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-2)^2} = 5 birim olarak elde edilir.
Üçgenin alanından faydalanarak CC köşesinin bu tabana ait yüksekliğini bulmak amacıyla taban uzunluğuna ve doğrunun genel denklemine ihtiyaç duyulur.
2
Üçgenin alan formülünü kullanarak CC noktasının ABAB doğrusuna olan dik uzaklığını (hh) hesaplayın.
Alan(ABC)=∣AB∣⋅h2⇒10=5⋅h2⇒h=4\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \cdot h}{2} \Rightarrow 10 = \frac{5 \cdot h}{2} \Rightarrow h = 4 birim bulunur.
Alanı ve taban uzunluğu bilinen üçgende yüksekliği belirlemek için temel alan formülü uygulanır.
3
CC noktasının koordinatlarını C(k,3)C(k, 3) olarak belirleyip noktanın doğruya uzaklığı formülünü uygulayın.
4=∣3(k)+4(3)−11∣32+42⇒4=∣3k+1∣5⇒∣3k+1∣=204 = \frac{|3(k) + 4(3) - 11|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \Rightarrow 4 = \frac{|3k + 1|}{5} \Rightarrow |3k + 1| = 20 elde edilir.
CC noktası y=3y=3 doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları C(k,3)C(k, 3) şeklindedir. Noktanın doğruya olan dik uzaklığı formülü yardımıyla kk değişkenine bağlı mutlak değerli bir eşitlik oluşturulur.
4
Elde edilen mutlak değerli denklemi çözerek olası kk değerlerini hesaplayın.
3k+1=20⇒k=1933k + 1 = 20 \Rightarrow k = \frac{19}{3} veya 3k+1=−20⇒k=−73k + 1 = -20 \Rightarrow k = -7 bulunur.
Mutlak değer içerisindeki ifade hem pozitif hem de negatif değerlere eşitlenerek olası tüm apsis değerleri tespit edilir.

Anahtar Kavram

Bir noktanın bir doğruya olan en kısa (dik) uzaklığı, noktanın koordinatlarının doğrunun genel denkleminde (ax+by+c=0ax+by+c=0) yerine yazılıp mutlak değerinin alınması ve doğrunun katsayılarının kareleri toplamının kareköküne bölünmesiyle bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Noktanın Doğruya Uzaklığı

Bu konudan daha fazla soru