Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKüre

Yarıçapı 1313 birim olan bir kürenin içerisine, taban dairesinin çevresi ve tepe noktası küre yüzeyinde olacak bi��imde bir dik dairesel koni yerleştiriliyor.

Buna göre, bu koninin hacminin alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaç π\pi birimküptür?

  1. 480Cevap
  2. B
    864
  3. C
    1440
  4. D
    96
  5. E
    80

Cevap

En büyük ve en küçük koni hacimleri arasındaki fark 480π480\pi birimküptür.
Koninin tepe noktası küre yüzeyinde ve taban çevresi de küre yüzeyinde olduğu için, küre merkezinin koni tabanına uzaklığı Pisagor bağıntısı ile 5 birim olarak hesaplanır. Tepe noktasının konumuna göre koni yüksekliği 13+5=18 veya 13-5=8 olabilir. Bu iki durumdan elde edilen hacimlerin farkı 480*pi birimküptür.

Adım Adım Çözüm

1
Küre merkezinden koni taban düzlemine olan dik uzaklığı hesaplama.
Uzaklık d=5d = 5 birim olarak bulunur.
Küre yarıçapı R=13R = 13 birim ve koni taban yarıçapı r=12r = 12 birimdir. Küre merkezi, koni taban dairesinin merkezi ve taban çevresi üzerindeki bir nokta dik üçgen oluşturur. Pisagor bağıntısından d2+122=132  ⟹  d=5d^2 + 12^2 = 13^2 \implies d = 5 bulunur.
2
En büyük hacimli koninin yüksekliğini ve hacmini hesaplama.
Yükseklik h1=18h_1 = 18 birim ve hacim Vmax=864πV_{max} = 864\pi birimküp olarak bulunur.
En büyük hacim için koninin tepe noktası ile küre merkezi, taban düzleminin farklı taraflarında yer almalıdır. Bu durumda yükseklik h1=R+d=13+5=18h_1 = R + d = 13 + 5 = 18 birim olur. Hacim ise Vmax=13πr2h1=13π⋅122⋅18=864πV_{max} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 18 = 864\pi olur.
3
En küçük hacimli koninin yüksekliğini ve hacmini hesaplama.
Yükseklik h2=8h_2 = 8 birim ve hacim Vmin=384πV_{min} = 384\pi birimküp olarak bulunur.
En küçük hacim için koninin tepe noktası ile küre merkezi, taban düzleminin aynı tarafında yer almalıdır. Bu durumda yükseklik h2=R−d=13−5=8h_2 = R - d = 13 - 5 = 8 birim olur. Hacim ise Vmin=13πr2h2=13π⋅122⋅8=384πV_{min} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 8 = 384\pi olur.
4
Hacimler arasındaki farkı hesaplama.
Fark 480π480\pi birimküptür.
En büyük hacim ile en küçük hacim arasındaki fark Vmax−Vmin=864π−384π=480πV_{max} - V_{min} = 864\pi - 384\pi = 480\pi birimküptür.

Anahtar Kavram

Küre içerisine çizilen dik koninin boyutlarının küre yarıçapı ve merkez uzaklığı yardımıyla belirlenmesi ile katı cisimlerin hacim bağıntıları.

İpuçları

1
Kürenin merkezinden koninin taban düzlemine bir dikme indirerek dik üçgen oluşturun.
2
Oluşan dik üçgende kürenin yarıçapı (13) hipotenüs, koninin taban yarıçapı (12) dik kenarlardan biridir. Buradan merkez ile taban arasındaki mesafeyi bulun.
3
Koninin tepe noktası küre yüzeyinde olacağından, yüksekliği maksimum yapmak için tepe noktasını merkeze göre tabanın öbür tarafında seçin (13 + d); minimum yapmak için ise aynı tarafında seçin (13 - d).
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küre

Bu konudan daha fazla soru