Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖklid Bağıntıları

KLMKLM dik üçgeninde, [KL]⊥[LM][KL] \perp [LM] ve [LH]⊥[KM][LH] \perp [KM]'dir. ∣KH∣=9 cm|KH| = 9\text{ cm} ve [LH][LH] yüksekliğinin uzunluğu ∣LH∣=12 cm|LH| = 12\text{ cm} olduğuna göre, ∣LM∣|LM| uzunluğu kaç cm'dir?

Cevap: 20 cm

Cevap

LM uzunluğu 20 cm'dir.
KLM dik üçgeninde L açısı diktir ve [LH] hipotenüse indirilen yüksekliktir. Öklid'in yükseklik bağıntısına göre ∣LH∣2=∣KH∣⋅∣HM∣|LH|^2 = |KH| \cdot |HM|'dir. Verilen değerler yerine yazıldığında 122=9⋅∣HM∣  ⟹  144=9⋅∣HM∣  ⟹  ∣HM∣=16 cm12^2 = 9 \cdot |HM| \implies 144 = 9 \cdot |HM| \implies |HM| = 16\text{ cm} bulunur. LHM dik üçgeninde Pisagor bağıntısı (∣LM∣2=∣LH∣2+∣HM∣2|LM|^2 = |LH|^2 + |HM|^2) veya Öklid'in kenar bağıntısı (∣LM∣2=∣HM∣⋅∣KM∣|LM|^2 = |HM| \cdot |KM|) kullanılarak ∣LM∣=20 cm|LM| = 20\text{ cm} elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Öklid'in yükseklik bağıntısını kullanarak HM uzunluğunu bulun.
∣HM∣=16 cm|HM| = 16\text{ cm}
Dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir (∣LH∣2=∣KH∣⋅∣HM∣|LH|^2 = |KH| \cdot |HM|).
2
HM uzunluğu yardımıyla hipotenüsün (KM) tamamının uzunluğunu bulun.
∣KM∣=25 cm|KM| = 25\text{ cm}
∣KM∣=∣KH∣+∣HM∣=9+16=25 cm|KM| = |KH| + |HM| = 9 + 16 = 25\text{ cm}'dir.
3
Öklid'in kenar bağıntısını kullanarak LM uzunluğunu hesaplayın.
∣LM∣=20 cm|LM| = 20\text{ cm}
Dik üçgende bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir (∣LM∣2=∣HM∣⋅∣KM∣  ⟹  ∣LM∣2=16⋅25=400  ⟹  ∣LM∣=20 cm|LM|^2 = |HM| \cdot |KM| \implies |LM|^2 = 16 \cdot 25 = 400 \implies |LM| = 20\text{ cm}).

Anahtar Kavram

Öklid Bağıntıları

Alternatif Yöntem

LHM dik üçgeninde kenar uzunlukları 12 ve 16 olan dik kenarlar, 3-4-5 özel üçgeninin 4 katı (12-16-20) olduğundan, hipotenüs olan ∣LM∣|LM| doğrudan 20 cm olarak bulunabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Öklid Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru