Examkin

Soru

Zorluk: KolayKatı Cisimlerin Açınımı ve En Kısa Yol

Taban yarıçapı 3π cm\frac{3}{\pi}\text{ cm} ve yüksekliği 8 cm8\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun alt taban çemberi üzerindeki bir AA noktasından, silindirin yan yüzeyi üzerinden tam bir tur atarak üst taban çemberi üzerinde AA noktasıyla aynı düşey hizada bulunan BB noktasına giden bir karıncanın alabileceği en kısa yol kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    88
  2. 1010Cevap
  3. C
    1414
  4. D
    73\sqrt{73}
  5. E
    2132\sqrt{13}

Cevap

En kısa yol 10 cm10\text{ cm}'dir.
Doğru cevap 10 cm10\text{ cm}'dir. Silindir açıldığında oluşan dikdörtgenin taban uzunluğu 6 cm6\text{ cm} (çevre = 2π⋅3π2\pi \cdot \frac{3}{\pi}) ve yüksekliği 8 cm8\text{ cm}'dir. Bu dikdörtgenin köşegen uzunluğu, dik kenarları 66 ve 88 olan dik üçgenin hipotenüsü olacağından 6−8−106-8-10 özel üçgeninden 10 cm10\text{ cm} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Silindirin taban çevresi hesaplanır.
Taban çevresi C=2πr=2π⋅3π=6 cmC = 2\pi r = 2\pi \cdot \frac{3}{\pi} = 6\text{ cm} olur.
Silindir yan yüzeyi açıldığında, taban çevresi açınım dikdörtgeninin yatay kenar uzunluğunu oluşturur.
2
Silindirin yan yüzey açınımı düzlemsel olarak çizilir.
Yatay kenarı 6 cm6\text{ cm}, düşey kenarı (yükseklik) 8 cm8\text{ cm} olan bir dikdörtgen elde edilir.
Silindir yüzeyi üzerinde tam bir tur atarak en üst noktaya ulaşmak, açınım dikdörtgeninin bir köşesinden karşı köşesine gitmeye karşılık gelir.
3
Pisagor bağıntısı ile köşegen uzunluğu hesaplanır.
En kısa yol xx olsun. x2=62+82=36+64=100⇒x=10 cmx^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow x = 10\text{ cm} bulunur.
Dik kenarları 6 cm6\text{ cm} ve 8 cm8\text{ cm} olan dik üçgende hipotenüs uzunluğu 6−8−106-8-10 özel üçgeni (3−4−53-4-5 üçgeninin 22 katı) kuralıyla doğrudan bulunabilir.

Anahtar Kavram

Bir silindirin yüzeyi üzerindeki en kısa yol, silindirin yan yüzey açınımı olan dikdörtgenin köşegen uzunluğudur.

İpuçları

1
Silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. Karıncanın izlediği yol bu dikdörtgen üzerinde doğrusal bir çizgidir.
2
Oluşan dikdörtgenin yatay kenarı silindirin taban çevresine (2πr2\pi r), dikey kenarı ise silindirin yüksekliğine eşittir. Bu iki kenarın oluşturduğu dik üçgende en kısa yolu bulmak için Pisagor bağıntısını uygulayın.

Daha Fazla Pratik

Silindir üzerinde yarım tur atılsaydı en kısa yolun nasıl değişeceğini düşünün.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Katı Cisimlerin Açınımı ve En Kısa Yol

Bu konudan daha fazla soru