Bir kenar uzunluğu 6\text{ cm} olan bir küpün AB ayrıtı üzerinde, A köşesine 2\text{ cm} u… — ALES

Bir kenar uzunluğu $6\text{ cm}$ olan bir küpün $AB$ ayrıtı üzerinde, $A$ köşesine $2\text{ cm}$ uzaklıkta bir $P$ noktası; $C'D'$ ayrıtı üzerinde ise $D'$ köşesine $2\text{ cm}$ uzaklıkta bir $Q$ noktası işaretlenmiştir. Küpün yüzeyi üzerinden gitmek şartıyla, $P$ noktasından $Q$ noktasına ulaşmak isteyen bir karıncanın alabileceği en kısa yol kaç $\text{cm}$ 'dir?

$8\sqrt{2}$ Cevap
B
$2\sqrt{34}$
C
12
D
$10\sqrt{2}$
E
$6\sqrt{2}$

Cevap

Karıncanın alabileceği en kısa yol

8\sqrt{2}\text{ cm}

'dir.

Ön yüz, sol yan yüz ve üst yüzün doğrusal olarak yan yana açılmasıyla elde edilen düzlemde, başlangıç noktası ile varış noktası arasındaki mesafe, dik kenarları

8\text{ cm}

8\text{ cm}

olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsü olmaktadır. Pisagor bağıntısı uygulandığında bu mesafe

8\sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunur. Bu yol, küpün sınırları içinde kalarak yüzey üzerinden gidilebilecek en kısa yoldur.

Adım Adım Çözüm

Küpün köşelerini ve verilen noktaları tanımlama

Küpün ayrıt uzunluğu

6\text{ cm}

'dir.

P

noktası

AB

ayrıtı üzerinde ve

AP = 2\text{ cm}

'dir.

Q

noktası

C'D'

ayrıtı üzerinde ve

D'Q = 2\text{ cm}

'dir.

Noktaların küp üzerindeki konumlarını ve başlangıç parametrelerini netleştirmek için.

Ön yüz (

ABB'A'

), sol yan yüz (

ADD'A'

) ve üst yüzü (

A'B'C'D'

) düzlemsel olarak yan yana açma

Koordinat düzleminde

A

noktası

(0,6)

B

noktası

(6,6)

olarak seçilirse,

P

noktası

AB

üzerinde

(2,6)

konumunda olur. Sol yan yüz

AD

kenarından sola doğru açıldığında

A'(-6,6)

D'(-6,0)

olur. Üst yüz de sol yan yüzün

A'D'

kenarından sola doğru açıldığında

C'(-12,0)

D'(-6,0)

olur. Bu durumda

D'Q = 2\text{ cm}

olduğundan

Q

noktası

(-6, -2)

konumuna gelir.

Yüzeyler üzerindeki en kısa yolu iki boyutlu düzlemde doğrusal bir çizgi olarak temsil edebilmek için.

Açınım üzerindeki

P(2,6)

Q(-6,-2)

noktaları arasındaki mesafeyi hesaplama

Yataydaki değişim

\Delta x = 2 - (-6) = 8\text{ cm}

, dikeydeki değişim ise

\Delta y = 6 - (-2) = 8\text{ cm}

olur. Pisagor bağıntısı uygulandığında yolun uzunluğu

\sqrt{8^2 + 8^2} = 8\sqrt{2}\text{ cm}

olarak bulunur.

İki nokta arasındaki en kısa doğrusal mesafeyi hesaplamak için.

Bulunan doğrusal yolun küpün yüzey sınırları içerisinde kaldığını doğrulama

P(2,6)

Q(-6,-2)

noktalarını birleştiren doğrunun denklemi

y = x + 4

şeklindedir. Bu doğru, ortak ayrıt olan

AD

doğrusunu (

x=0

)

y=4

noktasında keser.

y=4

AD

ayrıtının

[0,6]

aralığında olduğu için geçerlidir. Ayrıca diğer ortak ayrıt

DD'

doğrusunu (

y=0

)

x=-4

noktasında keser.

x=-4

DD'

ayrıtının

[-6,0]

aralığında olduğu için bu da geçerlidir.

Doğrusal çizginin küpün dışına taşmadığından ve fiziksel olarak yüzey üzerinde yürünebilir olduğundan emin olmak için.

Anahtar Kavram

Katı cisimlerin yüzeyleri üzerindeki en kısa yolları bulmak için cismin yüzeyleri düzlemsel hale getirilerek (açınım yapılarak) iki nokta arasındaki doğrusal mesafe hesaplanır.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru