Examkin

Soru

Zorluk: ZorKüre

Hacmi 288π birim3288\pi\text{ birim}^3 olan bir küre, bir dik dairesel silindirin içerisine yerleştirildiğinde silindirin alt ve üst tabanları ile yan yüzeyine teğet olmaktadır. Daha sonra bu silindirin içerisine; tepe noktası kürenin merkezinde, tabanı ise silindirin alt tabanıyla çakışacak biçimde bir dik dairesel koni yerleştiriliyor.

Buna göre, yerleştirilen koninin yanal alanı kaç π birim2\pi\text{ birim}^2 dir?

  1. A
    12212\sqrt{2}
  2. B
    3636
  3. 36236\sqrt{2}Cevap
  4. D
    7272
  5. E
    72272\sqrt{2}

Cevap

Yerleştirilen koninin yanal alanı 362π birim236\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2 dir.
Kürenin verilen hacminden (288π288\pi) yarıçapı 6 birim6\text{ birim} olarak hesaplanır. Kürenin silindire teğet olması ve koninin tepe noktasının kürenin merkezinde bulunması sebebiyle koninin taban yarıçapı 6 birim6\text{ birim} ve yüksekliği 6 birim6\text{ birim} olur. Dik üçgende Pisagor bağıntısı ile koninin ana doğrusu 62 birim6\sqrt{2}\text{ birim} bulunur. Koninin yanal alan formülü olan π⋅R⋅a\pi \cdot R \cdot a bağıntısı uygulandığında alan 362π birim236\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2 olarak doğru şekilde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kürenin hacim formülünü yazıp yarıçapını hesaplama.
r=6 birimr = 6\text{ birim}
Kürenin hacmi V=43πr3V = \frac{4}{3}\pi r^3 formülüyle hesaplanır. 288π=43πr3288\pi = \frac{4}{3}\pi r^3 eşitliğinden r3=216r^3 = 216 ve böylece r=6 birimr = 6\text{ birim} bulunur.
2
Küre silindire teğet olduğundan silindirin ve koninin taban yarıçapı ile yüksekliğini belirleme.
Koninin taban yarıçapı R=6 birimR = 6\text{ birim} ve yüksekliği h=6 birimh = 6\text{ birim} dir.
Küre silindirin tabanlarına ve yan yüzeyine teğet olduğundan silindirin yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir (R=6R = 6). Koninin tepe noktası kürenin merkezinde olduğundan koninin yüksekliği küre merkezinin alt tabana olan uzaklığına, yani kürenin yarıçapına eşittir (h=r=6h = r = 6).
3
Pisagor bağıntısını kullanarak koninin ana doğrusunu (aa) hesaplama.
a=62 birima = 6\sqrt{2}\text{ birim}
Koninin yüksekliği (hh) ve taban yarıçapı (RR) birbirine diktir. Dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulandığında a2=R2+h2  ⟹  a2=62+62=72  ⟹  a=62 birima^2 = R^2 + h^2 \implies a^2 = 6^2 + 6^2 = 72 \implies a = 6\sqrt{2}\text{ birim} bulunur.
4
Koninin yanal alanı formülünü uygulayarak sonucu bulma.
YA=362π birim2Y_A = 36\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2
Koninin yanal alanı YA=π⋅R⋅aY_A = \pi \cdot R \cdot a formülüyle hesaplanır. Değerler yerine yazıldığında YA=π⋅6⋅62=362π birim2Y_A = \pi \cdot 6 \cdot 6\sqrt{2} = 36\sqrt{2}\pi\text{ birim}^2 elde edilir.

Anahtar Kavram

Kürenin silindir ve koni ile olan geometrik ilişkilerini kullanarak katı cisimlerin hacim ve yanal alan formüllerini uygulama.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, taban yarıçapı ve yüksekliği eşit olan dik dairesel konilerde, koni ana doğrusunun (aa) taban yarıçapının (RR) 2\sqrt{2} katı olduğu (a=R2a = R\sqrt{2}) doğrudan görülebilir. Buradan yanal alan YA=πR22Y_A = \pi R^2 \sqrt{2} formülüyle pratik olarak hesaplanabilir. Kürenin yarıçapı 66 bulunduktan sonra R=6R = 6 yerine yazılarak YA=π⋅62⋅2=362πY_A = \pi \cdot 6^2 \cdot \sqrt{2} = 36\sqrt{2}\pi sonucuna doğrudan ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Küre

Bu konudan daha fazla soru