Examkin

Soru

Zorluk: OrtaŞifreleme ve Kodlama

Bir kodlama sisteminde her pozitif tam sayı, asal çarpanlarının üsleri kullanılarak kodlanmaktadır. Bir XX sayısının asal çarpanlarına ayrılmış biçimi küçükten büyüğe sırasıyla asal sayılarla X=p1a1⋅p2a2⋯pkakX = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} (p1<p2<⋯<pkp_1 < p_2 < \dots < p_k) olmak üzere; bu sayının kodu, asal çarpanların sırasıyla üslerinin yan yana yazılmasıyla elde edilen (a1a2…ak)(a_1a_2\dots a_k) sayısıdır. Eğer sayının asal çarpanları arasında ardışık asallardan biri bulunmuyorsa, o asal çarpanın kodu 00 kabul edilerek en büyük asal çarpana kadar olan tüm asalların üsleri kodda sırasıyla yer alır.

Örneğin;
* 12=22⋅3112 = 2^2 \cdot 3^1 olduğu için kodu 2121’dir.
* 50=21⋅30⋅5250 = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^2 olduğu için kodu 102102’dir.

Buna göre, bu kodlama sisteminde kodu 20132013 olan sayı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1176
  2. B
    1500
  3. C
    2000
  4. 6860Cevap
  5. E
    20580

Cevap

Kodu 2013 olan sayı 6860 olarak bulunur.
Kodu 2013 olan sayı, tanımda verilen kurallara göre ilk dört asal sayının sırasıyla 2, 0, 1 ve 3 üsleri alınarak çarpılmasıyla elde edilen 6860 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kodun basamaklarını asal sayıların üsleri olarak eşleştirmek
2013 kodundaki basamaklar sırasıyla 2, 0, 1 ve 3 olup, en küçükten itibaren ilk dört asal sayının (2, 3, 5, 7) sırasıyla üslerini temsil eder.
Kodlama tanımına göre basamaklar sırasıyla ardışık asal sayıların üslerini göstermektedir.
2
Üslü ifadeleri çarpan olarak yazmak
22⋅30⋅51⋅732^2 \cdot 3^0 \cdot 5^1 \cdot 7^3 ifadesi elde edilir.
Bulunan üs değerleri ilgili asal sayıların üzerine yazılır.
3
İfadelerin değerlerini hesaplayıp çarpmak
4⋅1⋅5⋅343=68604 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 343 = 6860 bulunur.
22=42^2 = 4, 30=13^0 = 1, 51=55^1 = 5 ve 73=3437^3 = 343 değerlerinin çarpımı sayıyı verir.

Anahtar Kavram

Asal çarpanların üslerine göre sayıları kodlama ve çözümleme
Bu soruyu puanla

Konular

Şifreleme ve Kodlama

Bu konudan daha fazla soru