Examkin

Doğrunun Eğimi

3 soru

Soru 1Soru →

Analitik düzlemde, A(−4,3)A(-4, 3) noktasından çıkan bir ışık ışını, y=mxy = mx (m>0m > 0) doğrusu biçimindeki bir aynadan orijinde (O(0,0)O(0,0) noktasında) yansıyarak B(5,12)B(5, 12) noktasından geçmektedir.

Işığın yansıma kuralına göre; gelen ışın ile aynanın yüzeyi arasındaki açı, yansıyan ışın ile aynanın yüzeyi arasındaki açıya eşittir.

Buna göre, aynayı temsil eden doğrunun e��imi olan mm değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 311\frac{3}{11}

Cevap

Aynayı temsil eden doğrunun eğimi 311\frac{3}{11}'dir.
Gelen ve yansıyan ışınların doğrultuları ile ayna doğrusu arasındaki açıların eşitliği kullanılarak kurulan tanjant eşitliğinden elde edilen ikinci dereceden denklemin pozitif kökü 311\frac{3}{11} değeridir. Bu değer yansıma kurallarına tam olarak uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Gelen ve yansıyan ışınların doğrultularını temsil eden doğruların eğimlerini hesaplayın.
Gelen ışının doğrusu olan AOAO doğrusunun eğimi m1=3−0−4−0=−34m_1 = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4} ve yansıyan ışının doğrusu olan OBOB doğrusunun eğimi m2=12−05−0=125m_2 = \frac{12 - 0}{5 - 0} = \frac{12}{5} olarak bulunur.
Yansıma açılarının eşitliğini kurabilmek için öncelikle bu iki doğrunun eğim değerlerinin belirlenmesi gerekir.
2
Yansıma kuralına göre, ayna doğrusu ile gelen ve yansıyan ışın doğruları arasındaki açıların eşitliğini tanjant formülü ile yazın.
Ayna doğrusunun eğimi mm olmak üzere, ∣m−m11+m⋅m1∣=∣m2−m1+m⋅m2∣\left|\frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1}\right| = \left|\frac{m_2 - m}{1 + m \cdot m_2}\right| formülünden ∣m−(−3/4)1+m(−3/4)∣=∣12/5−m1+(12/5)m∣\left|\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}\right| = \left|\frac{12/5 - m}{1 + (12/5)m}\right| eşitliği elde edilir.
Yansıma kuralı gereği, gelen ve yansıyan ışınların ayna doğrusuyla yaptığı dar açılar birbirine eşittir.
3
Elde edilen mutlak değerli denklemi düzenleyin ve çözün.
Denklem düzenlendiğinde ∣4m+34−3m∣=∣12−5m5+12m∣\left|\frac{4m + 3}{4 - 3m}\right| = \left|\frac{12 - 5m}{5 + 12m}\right| haline gelir. İki tarafın aynı işaretli olduğu durum için (4m+3)(5+12m)=(12−5m)(4−3m)(4m + 3)(5 + 12m) = (12 - 5m)(4 - 3m) çarpımı yapılır. Buradan 33m2+112m−33=033m^2 + 112m - 33 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklem (3m+11)(11m−3)=0(3m + 11)(11m - 3) = 0 şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Aynanın eğimini veren olası mm değerlerini bulmak için ikinci dereceden denklemin kökleri hesaplanır.
4
Koşullara uygun olan eğim değerini belirleyin.
m>0m > 0 koşulunu sağlayan kök m=311m = \frac{3}{11} olarak bulunur. Diğer kök olan m=−113m = -\frac{11}{3} ise ayna doğrusuna dik olan normal doğrusunun eğimidir.
Fiziksel yansımayı gerçekleştiren ve soruda pozitif olduğu belirtilen tek ayna eğimi değeri budur.

Anahtar Kavram

İki doğru arasındaki açının tanjantı ve yansıma kuralının analitik geometriye uygulanması

İpuçları

1
Işığın yansıma kuralına göre, ayna doğrusu ile gelen ve yansıyan ışın doğruları arasındaki dar açılar birbirine eşittir.
2
İki doğrunun eğimleri mam_a ve mbm_b ise, aralarındaki açının tanjantı tan⁡θ=∣ma−mb1+ma⋅mb∣\tan \theta = \left|\frac{m_a - m_b}{1 + m_a \cdot m_b}\right| formülü ile hesaplanır. Aynanın eğimi mm olmak üzere bu formülü her iki ışın için uygulayıp birbirine eşitleyin.
3
AOAO doğrusunun eğimini m1=−34m_1 = -\frac{3}{4} ve OBOB doğrusunun eğimini m2=125m_2 = \frac{12}{5} olarak bulduktan sonra, ∣m−(−3/4)1+m(−3/4)∣=∣12/5−m1+(12/5)m∣\left|\frac{m - (-3/4)}{1 + m(-3/4)}\right| = \left|\frac{12/5 - m}{1 + (12/5)m}\right| denklemini m>0m > 0 için çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir yansıma sorusunu ayna doğrusunun eksenleri kestiği noktalar bilindiğinde ayna denklemini oluşturarak çözmeyi deneyebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Vektörel yöntem veya yansıma simetrisi kullanılabilir. A(−4,3)A(-4, 3) noktasının y=mxy = mx doğrusuna göre simetriği olan A′(x′,y′)A'(x', y') noktası, OBOB doğrusu üzerinde ve orijine göre BB ile zıt yönde (3. bölgede) olmalıdır. A′A' noktasının koordinatları mm cinsinden yazılıp OBOB doğrusunun denklemi olan 12x−5y=012x - 5y = 0 yerine konularak da mm değeri bulunabilir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 2Soru →

Analitik düzlemde, başlangıç noktası (orijin) ile A(3,−2)A(3, -2) noktasından geçen doğrunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −23-\frac{2}{3}

Cevap

Doğrunun eğimi −23-\frac{2}{3}'tür.
Doğrunun eğimi, üzerindeki iki noktanın ordinatları farkının apsisleri farkına oranıyla bulunur. Başlangıç noktası (0,0)(0,0) ve verilen nokta A(3,−2)A(3, -2) olduğundan eğim, ordinat olan −2-2'nin apsis olan 33'e bölünmesiyle −23-\frac{2}{3} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıç noktasının (orijin) koordinatları belirlenir.
O(0,0)O(0,0)
Eğimi hesaplamak için doğrunun geçtiği iki noktadan ilki tanımlanır.
2
Verilen A(3,−2)A(3, -2) noktası ile orijin O(0,0)O(0,0) noktaları kullanılarak iki noktası bilinen doğrunun eğim formülü yazılır.
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Doğrunun eğimini hesaplamak için genel formülün uygulanması gerekir.
3
Koordinat değerleri formülde yerine konularak eğim hesaplanır.
m=−2−03−0=−23m = \frac{-2 - 0}{3 - 0} = -\frac{2}{3}
Apsis ve ordinat farklarının oranlanmasıyla eğim değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

İki noktası bilinen doğrunun eğimi
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 3Soru →

Analitik düzlemde, birinci bölgede yer alan, iki kenarı koordinat eksenleri üzerinde ve bir köşesi orijinde olan bir karenin alanı 36 birimkare36\text{ birimkare}'dir. Bu karenin alanını iki eş bölgeye ayıran ve A(2,8)A(2, 8) noktasından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −5-5

Cevap

Karenin alanını iki eş parçaya bölen doğrunun eğimi −5-5 olmalıdır.
Karenin alanını iki eş parçaya bölen herhangi bir doğru, karenin ağırlık merkezinden (köşegenlerinin kesişim noktasından) geçmek zorundadır. Karenin köşeleri O(0,0)O(0,0), P(6,0)P(6,0), R(6,6)R(6,6) ve S(0,6)S(0,6) olduğundan, ağırlık merkezi bu noktaların orta noktası olan G(3,3)G(3,3) noktasıdır. G(3,3)G(3,3) ve A(2,8)A(2,8) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise m=3−83−2=−5m = \frac{3-8}{3-2} = -5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Karenin kenar uzunluğunun bulunması
Birinci bölgede yer alan ve alanı 36 birimkare36\text{ birimkare} olan karenin bir kenar uzunluğu 36=6 birim\sqrt{36} = 6\text{ birim} olarak bulunur.
Karenin koordinat düzlemindeki yerleşimini ve köşelerinin koordinatlarını belirlemek için kenar uzunluğuna ihtiyaç duyulur.
2
Karenin köşe koordinatlarının ve ağırlık merkezinin belirlenmesi
Köşeleri O(0,0)O(0,0), P(6,0)P(6,0), R(6,6)R(6,6) ve S(0,6)S(0,6) olan karenin ağırlık merkezi (köşegenlerin kesişim noktası) G(3,3)G(3,3) olarak bulunur.
Bir doğrunun karenin alanını iki eşit parçaya bölebilmesi için karenin simetri merkezi olan ağırlık merkezinden geçmesi gerekir.
3
İki noktası bilinen doğrunun eğim formülünün uygulanması
G(3,3)G(3,3) ve A(2,8)A(2,8) noktalarından geçen doğrunun eğimi m=y2−y1x2−x1=3−83−2=−5m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - 8}{3 - 2} = -5 olarak hesaplanır.
Doğrunun geçmesi gereken iki nokta belirlendikten sonra bu noktalar kullanılarak doğrunun eğimi bulunur.

Anahtar Kavram

Bir düzlemsel şeklin (kare, dikdörtgen, paralelkenar vb.) alanını iki eşit parçaya bölen doğrular, bu şeklin ağırlık merkezinden geçer. İki noktası bilinen doğrunun eğimi ise ordinatlar farkının apsisler farkına oranıyla bulunur.
Doğrunun Eğimi Alıştırma Soruları — ALES | Examkin