Examkin

Eşkenar Dörtgen

2 soru

Soru 1Soru →

ABCDABCD eşkenar dörtgeninde [DH]⊥[AB][DH] \perp [AB] ve H∈[AB]H \in [AB]'dir. ∣AH∣=5 cm|AH| = 5\text{ cm} ve ∣HB∣=8 cm|HB| = 8\text{ cm} olduğuna göre, ABCDABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Eşkenar dörtgenin alanı 156 cm²'dir.
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğu 13 cm13\text{ cm}'dir. Yüksekliği dik üçgenden 12 cm12\text{ cm} olarak hesaplanır. Taban ile yüksekliğin çarpımı olan 156 cm2156\text{ cm}^2 doğru alandır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu belirlemek.
∣AB∣=∣AH∣+∣HB∣=5+8=13 cm|AB| = |AH| + |HB| = 5 + 8 = 13\text{ cm} olur.
HH noktası [AB][AB] kenarı üzerinde olduğu için bu iki parçanın toplamı eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu verir.
2
Eşkenar dörtgenin diğer kenar uzunluklarını yazmak.
∣AD∣=∣AB∣=13 cm|AD| = |AB| = 13\text{ cm} olur.
Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eşittir.
3
AHDAHD dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulamak.
∣AH∣2+∣DH∣2=∣AD∣2  ⟹  52+∣DH∣2=132  ⟹  25+∣DH∣2=169  ⟹  ∣DH∣=12 cm|AH|^2 + |DH|^2 = |AD|^2 \implies 5^2 + |DH|^2 = 13^2 \implies 25 + |DH|^2 = 169 \implies |DH| = 12\text{ cm}
[DH][DH] yüksekliğini bulmak için dik üçgendeki kenar bağıntıları kullanılır (5-12-13 özel dik üçgeni).
4
Eşkenar dörtgenin alanını hesaplamak.
Alan=∣AB∣×∣DH∣=13×12=156 cm2\text{Alan} = |AB| \times |DH| = 13 \times 12 = 156\text{ cm}^2
Eşkenar dörtgenin alanı, taban kenar uzunluğu ile bu tabana ait yüksekliğin çarp��mına eşittir.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının eşitliği, dik üçgende Pisagor teoremi (5-12-13 üçgeni) ve taban-yükseklik yardımıyla alan hesabı.

İpuçları

1
Eşkenar dörtgenin tüm kenarlarının eşit olduğunu kullanarak ∣AD∣|AD| uzunluğunu bulabilirsiniz.
2
AHDAHD dik üçgeninde bilinen kenarları kullanarak Pisagor bağıntısı yardımıyla ∣DH∣|DH| yüksekliğini bulun.

Daha Fazla Pratik

Yüksekliği verilen benzer eşkenar dörtgen sorularında çevre veya köşegen uzunluklarını hesaplama pratikleri yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Eşkenar dörtgenin alanını köşegenlerin kesişim noktasını belirleyip köşegen uzunluklarını bulduktan sonra köşegenlerin çarpımının yarısı formülüyle de hesaplayabilirsiniz, ancak taban ve yükseklik çarpımı çok daha pratiktir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 2Soru →

Bir ABCDABCD eşkenar dörtgeninin köşegenleri OO noktasında kesişmektedir. Bu eşkenar dörtgenin çevresi 40 cm40\text{ cm}'dir.

[BC][BC] kenarı üzerinde bir EE noktası ve [CD][CD] kenarı üzerinde bir FF noktası için OE⊥BCOE \perp BC ve OF⊥CDOF \perp CD olacak şekilde doğru parçaları çiziliyor.

∣OE∣=4 cm|OE| = 4\text{ cm} olduğuna göre, OEFOEF üçgeninin alanı kaç cm2\text{cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6,4

Cevap

OEF üçgeninin alanı 6,4 cm²'dir.
Doğru seçenekte yer alan 6,4 değeri, eşkenar dörtgenin çevresinden yola çıkarak bir kenarının 10 cm bulunması, köşegenlerin kesim noktası O'dan kenarlara çizilen dikmelerin eşitliği ile |OE| = |OF| = 4 cm olması ve eşkenar dörtgenin toplam alanı (80 cm²) üzerinden C açısının sinüsünün 0,8 olarak bulunmasıyla elde edilir. OECF dörtgeninde E ve F açıları 90 derece olduğundan, EOF açısı ile C açısı birbirini 180 dereceye tamamlar. Sinüs değerleri eşit olduğundan, OEF üçgeninin alanı sinüslü alan formülüyle 6,4 cm² olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşkenar dörtgenin bir kenar uzunluğunu bulma.
a=10 cma = 10\text{ cm}
Eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit uzunluktadır. Çevresi 40 cm40\text{ cm} olduğuna göre bir kenarı 40/4=10 cm40 / 4 = 10\text{ cm} olur.
2
Köşegenlerin kesişimiyle oluşan dik üçgenleri analiz etme.
∣OF∣=4 cm|OF| = 4\text{ cm}
Eşkenar dörtgende kö��egenler birbirini ortalar ve dik keser. Bu yüzden oluşan 4 dik üçgen birbirine eştir. O noktasından kenarlara indirilen tüm dikmelerin uzunlukları eşit olmalıdır. ∣OE∣=4 cm|OE| = 4\text{ cm} ise ∣OF∣=4 cm|OF| = 4\text{ cm} olur.
3
Eşkenar dörtgenin alanını hesaplama.
Alan(ABCD)=80 cm2\text{Alan}(ABCD) = 80\text{ cm}^2
Kesişim noktası O ile oluşan △OBC\triangle OBC üçgeninin alanı 10×42=20 cm2\frac{10 \times 4}{2} = 20\text{ cm}^2 olur. Dörtgenin toplam alanı bu eş üçgenlerden 4 tanesinin alan��na eşittir: 4×20=80 cm24 \times 20 = 80\text{ cm}^2.
4
Eşkenar dörtgenin iç açısının sinüsünü bulma.
sin⁡(C^)=0,8\sin(\widehat{C}) = 0,8
Eşkenar dörtgenin alanı komşu kenarlarının çarpımı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir: Alan(ABCD)=10×10×sin⁡(C^)=100sin⁡(C^)=80  ⟹  sin⁡(C^)=0,8\text{Alan}(ABCD) = 10 \times 10 \times \sin(\widehat{C}) = 100 \sin(\widehat{C}) = 80 \implies \sin(\widehat{C}) = 0,8.
5
OECFOECF dörtgenindeki açı ilişkisini belirleme.
m(EOF^)=180∘−C^m(\widehat{EOF}) = 180^\circ - \widehat{C} ve sin⁡(m(EOF^))=0,8\sin(m(\widehat{EOF})) = 0,8
OECFOECF dörtgeninde m(OEC^)=m(OFC^)=90∘m(\widehat{OEC}) = m(\widehat{OFC}) = 90^\circ olduğundan karşılıklı açılar toplamı 180∘180^\circ olur. Dolayısıyla birbirini 180∘180^\circ'ye tamamlayan açıların sinüsleri eşittir.
6
OEF üçgeninin alanını sinüslü alan formülü ile hesaplama.
Alan(△OEF)=6,4 cm2\text{Alan}(\triangle OEF) = 6,4\text{ cm}^2
Alan(△OEF)=12×∣OE∣×∣OF∣×sin⁡(m(EOF^))=12×4×4×0,8=6,4 cm2\text{Alan}(\triangle OEF) = \frac{1}{2} \times |OE| \times |OF| \times \sin(m(\widehat{EOF})) = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \times 0,8 = 6,4\text{ cm}^2.

Anahtar Kavram

Eşkenar dörtgende simetri merkezi özellikleri, alan bağınt��ları ve sinüslü alan formülü

Alternatif Yöntem

Eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları ee ve ff olsun. Alan(ABCD)=e⋅f2=80\text{Alan}(ABCD) = \frac{e \cdot f}{2} = 80 ve e2+f2=4a2=400e^2 + f^2 = 4a^2 = 400 denklemlerinden köşegenler e=85e = 8\sqrt{5} ve f=45f = 4\sqrt{5} olarak çözülür. Köşegenler yardımıyla oluşan dik üçgenlerdeki trigonometrik ilişkiler kullanılarak sin⁡(C^)\sin(\widehat{C}) değeri ve dolayısıyla OEF üçgeninin alanı hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Eşkenar Dörtgen Alıştırma Soruları — ALES | Examkin