Examkin

Çember ve Daire

6 soru

Soru 1Soru →

Bir kenar uzunluğu 8 cm8\text{ cm} olan ABCDABCD karesinin içine, [AB][AB] kenarını çap kabul eden bir yarım çember çizilmiştir. Bu yarım çembere dıştan, karenin ise [BC][BC] ve [CD][CD] kenarlarına içten teğet olan küçük çemberin yarıçapı kaç cm\text{cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 16−8316 - 8\sqrt{3}

Cevap

Küçük çemberin yarıçapı 16−83 cm16 - 8\sqrt{3}\text{ cm}'dir.
Küçük çemberin karenin sağ ve üst kenarlarına teğet olması merkez koordinatlarını (8−r,8−r)(8-r, 8-r) yapar. [AB][AB] çaplı yarım çemberin merkezi ise (4,0)(4,0) noktasıdır. Dıştan teğet olan iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık yarıçaplar toplamına (4+r4+r) eşittir. Bu iki merkez arasında kurulan Pisagor bağıntısı çözüldüğünde elde edilen r2−32r+64=0r^2 - 32r + 64 = 0 denkleminin kare içinde kalan kökü 16−8316 - 8\sqrt{3} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım çemberin merkezini ve yarıçap��nı belirleme.
[AB][AB] çaplı yarım çemberin yarıçapı R=4 cmR = 4\text{ cm} ve merkezi [AB][AB]'nin orta noktası olan O1(4,0)O_1(4,0) noktasıdır.
Karenin bir kenarı 8 cm8\text{ cm} olup çap [AB][AB] olduğu için yarım çemberin yarıçapı bu kenarın yarısıdır.
2
Küçük çemberin merkez koordinatlarını yarıçap cinsinden ifade etme.
Küçük çemberin yarıçapına rr denirse, çemberin merkezi O2(8−r,8−r)O_2(8-r, 8-r) olur.
Küçük çember karenin sağ (x=8x=8) ve üst (y=8y=8) kenarlarına teğet olduğundan merkez koordinatları kenarlardan rr birim uzaklıktadır.
3
Merkezler arasındaki uzaklığı teğetlik koşuluyla bulma.
∣O1O2∣=R+r=4+r|O_1 O_2| = R + r = 4 + r.
İki çember dıştan teğet olduğunda merkezleri arasındaki mesafe, yarıçaplarının toplamına eşit olur.
4
İki nokta arasındaki uzaklık formülü ile Pisagor bağıntısını kurma.
((8−r)−4)2+((8−r)−0)2=(4+r)2  ⟹  (4−r)2+(8−r)2=(4+r)2((8-r)-4)^2 + ((8-r)-0)^2 = (4+r)^2 \implies (4-r)^2 + (8-r)^2 = (4+r)^2.
O1(4,0)O_1(4,0) ve O2(8−r,8−r)O_2(8-r, 8-r) noktaları arasındaki yatay ve dikey mesafeler dik üçgen oluşturur.
5
Denklemi açarak sadeleştirme ve çözme.
16−8r+r2+64−16r+r2=16+8r+r2  ⟹  r2−32r+64=016 - 8r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = 16 + 8r + r^2 \implies r^2 - 32r + 64 = 0. Bu denklemin kökleri r=16±83r = 16 \pm 8\sqrt{3}'tür. r<4r < 4 olması gerektiğinden r=16−83 cmr = 16 - 8\sqrt{3}\text{ cm} bulunur.
Küçük çember kare içine sığmak zorunda olduğundan yarıçapı 44'ten küçük olmalıdır.

Anahtar Kavram

İki çemberin dıştan teğet olması durumunda merkezler arası uzaklığın yarıçaplar toplamına eşit olması ve dik koordinat sisteminde Pisagor bağıntısının uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Alanı 16π cm216\pi\text{ cm}^2 olan bir dairenin çevresi kaç π cm\pi\text{ cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Daireninc\cevresi8π cm′dir.Dairenin çevresi 8\pi\text{ cm}'dir.
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile bulunur. Buradan πr2=16π\pi r^2 = 16\pi eşitliği kurularak r=4 cmr = 4\text{ cm} elde edilir. Çevre ise 2πr2\pi r formülüyle hesaplandığından, 2⋅π⋅4=8π cm2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi\text{ cm} olarak bulunur. Bu nedenle doğru seçenek 8 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Dairenin alanı formülünü kullanarak yarıçapı bulma.
Alan = πr2=16π  ⟹  r2=16  ⟹  r=4 cm\pi r^2 = 16\pi \implies r^2 = 16 \implies r = 4\text{ cm}
Dairenin çevresini hesaplayabilmek için öncelikle yarıçap değerine ulaşmamız gerekir.
2
Bulunan yarıçap değerini çevre formülünde yerine yazma.
Çevre = 2πr=2⋅π⋅4=8π cm2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 4 = 8\pi\text{ cm}
Yarıçapı bilinen dairenin çevresini veren standart formül uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir dairenin alanı πr2\pi r^2 formülüyle, çevresi ise 2πr2\pi r formülüyle hesaplanır.

İpuçları

1
Dairenin alanı πr2\pi r^2 formülü ile hesaplanır. Buradan yarıçapı (rr) bulabilirsiniz.
2
Yarıçapı bulduktan sonra, dairenin çevresini hesaplamak için 2πr2\pi r formülünü kullanın.
Tahmini Süre:45s
Soru 3Soru →

Merkez açısının ölçüsü 120∘120^\circ olan bir daire diliminin alanı 12π cm212\pi\text{ cm}^2 olduğuna göre, bu daire diliminin yay uzunluğu kaç π cm\pi\text{ cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Daire diliminin yay uzunluğu 4π cm4\pi\text{ cm}'dir (seçeneklerde 4 olarak verilmiştir)
Doğru cevap olan 4 değeri, daire diliminin alan formülünden elde edilen r=6 cmr = 6\text{ cm} yarıçap değeri kullanılarak yay uzunluğu formülüyle (2π⋅6⋅120360=4π2\pi \cdot 6 \cdot \frac{120}{360} = 4\pi) hesaplanır. Dolayısıyla yay uzunluğu 4π cm4\pi\text{ cm}'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Daire diliminin alan formülünü yazıp yarıçapı bulunuz.
12π=πr2⋅120∘360∘  ⟹  12=r2⋅13  ⟹  r2=36  ⟹  r=6 cm12\pi = \pi r^2 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} \implies 12 = r^2 \cdot \frac{1}{3} \implies r^2 = 36 \implies r = 6\text{ cm}
Daire diliminin yay uzunluğunu bulabilmek için öncelikle dairenin yarıçapına ulaşılması gerekmektedir.
2
Bulunan yarıçap değerini kullanarak daire diliminin yay uzunluğunu hesaplayınız.
Yay Uzunlug˘u=2πr⋅α360∘=2π⋅6⋅120∘360∘=12π⋅13=4π cm\text{Yay Uzunluğu} = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 2\pi \cdot 6 \cdot \frac{120^\circ}{360^\circ} = 12\pi \cdot \frac{1}{3} = 4\pi\text{ cm}
Bulunan 6 cm6\text{ cm} yarıçapı ve 120∘120^\circ merkez açısı yardımıyla yay uzunluğu elde edilir.

Anahtar Kavram

Daire Diliminin Alanı ve Yay Uzunluğu İlişkisi

İpuçları

1
Daire diliminin alan formülü Alan=πr2⋅α360∘\text{Alan} = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} şeklindedir. Öncelikle bu formülü kullanarak yarıçapı (rr) bulmayı deneyin.
2
12π=πr2⋅12036012\pi = \pi r^2 \cdot \frac{120}{360} eşitliğinden r2=36r^2 = 36 ve buradan yarıçapı r=6 cmr = 6\text{ cm} olarak bulursunuz.
3
Yarıçapı r=6 cmr = 6\text{ cm} bulduktan sonra, daire diliminin yay uzunluğu formülü olan Yay Uzunlug˘u=2πr⋅α360∘\text{Yay Uzunluğu} = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} ifadesinde değerleri yerine koyarak sonuca ulaşın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, yay uzunluğu verilen bir daire diliminin alanını bulmaya yönelik sorular çözerek formüller arasındaki geçişleri pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Orantı kurma yöntemi: 120∘120^\circ merkez açılı daire diliminin alanı 12π12\pi ise, tamamının (360∘360^\circ) alanı 3 katı yani 36π36\pi olur. Buradan πr2=36π  ⟹  r=6\pi r^2 = 36\pi \implies r = 6 bulunur. Tamamının çevresi 2πr=12π2\pi r = 12\pi ise, 120∘120^\circ merkez açılı yay uzunluğu daire çevresinin üçte biri olacağından 12π3=4π\frac{12\pi}{3} = 4\pi olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 4Soru →

OO merkezli çeyrek dairenin içine; [OA][OA] yarıçapına, [OB][OB] yarıçapına ve çeyrek çemberin yayına teğet olan MM merkezli bir daire yerleştirilmiştir. Çeyrek dairenin yarıçapı 6+62 cm6 + 6\sqrt{2}\text{ cm} olduğuna göre, çeyrek dairenin içinde olup MM merkezli dairenin dışında kalan boyalı bölgenin alanı kaç π cm2\pi\text{ cm}^2'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 182−918\sqrt{2} - 9

Cevap

Boyalı bölgenin alanı 182−918\sqrt{2} - 9 π cm2\pi\text{ cm}^2 olarak bulunur.
Çeyrek dairenin yarıçapı R=6(2+1)R = 6(\sqrt{2} + 1) olarak yazıldığında, iç teğet dairenin yarıçapı ile ilişkisi R=r(2+1)R = r(\sqrt{2} + 1) olduğundan içteki dairenin yarıçapı r=6 cmr = 6\text{ cm} bulunur. Çeyrek dairenin alanı Ac¸eyrek=14πR2=14π(6+62)2=(27+182)πA_{\text{çeyrek}} = \frac{1}{4}\pi R^2 = \frac{1}{4}\pi (6 + 6\sqrt{2})^2 = (27 + 18\sqrt{2})\pi ve içteki dairenin alanı Adaire=πr2=36πA_{\text{daire}} = \pi r^2 = 36\pi olur. Aradaki fark alındığında (182−9)π(18\sqrt{2} - 9)\pi alanına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Merkezler arası ilişkiyi kurma
OM=r2OM = r\sqrt{2}
İçteki daire dik kesişen yarıçaplara teğet olduğundan, merkezinin başlangıç noktasına uzaklığı bir kenarı rr olan karenin köşegenidir.
2
Çeyrek dairenin yarıçapı ile içteki dairenin yarıçapı arasındaki bağıntıyı yazma
R=r(2+1)R = r(\sqrt{2} + 1)
Merkezden teğet noktasına kadar olan toplam mesafe çeyrek dairenin yarıçapı RR'ye eşittir.
3
İçteki dairenin yarıçapını bulma
r=6 cmr = 6\text{ cm}
6(2+1)=r(2+1)6(\sqrt{2} + 1) = r(\sqrt{2} + 1) eşitliğinden rr çekilir.
4
Çeyrek dairenin alanını hesaplama
Ac¸eyrek=(27+182)π cm2A_{\text{çeyrek}} = (27 + 18\sqrt{2})\pi\text{ cm}^2
Çeyrek daire alanı A=14πR2A = \frac{1}{4}\pi R^2 formülü ile bulunur.
5
İçteki dairenin alanını hesaplama
Adaire=36π cm2A_{\text{daire}} = 36\pi\text{ cm}^2
Daire alanı A=πr2A = \pi r^2 formülü ile bulunur.
6
Boyalı bölgenin alanını hesaplama
Aboyalı=(182−9)π cm2A_{\text{boyalı}} = (18\sqrt{2} - 9)\pi\text{ cm}^2
Çeyrek dairenin alanından içteki dairenin alanı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Çeyrek daire ve içine çizilen teğet dairenin alan ilişkisi
Soru 5Soru →

Bir OO merkezli çemberde, uzunlukları 12 cm12\text{ cm} ve 16 cm16\text{ cm} olan birbirine paralel iki kiriş çiziliyor. Bu kirişler arasındaki uzaklık 2 cm2\text{ cm} olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç  cm\text{ cm}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Çemberin yarıçapı 10 cm'dir.
Doğru cevap olan 10 cm seçeneği, çemberin merkezinden kirişlere inilen dikmelerin kirişleri ortalaması kuralı ve Pisagor bağıntısı kullanılarak bulunur. 12 cm'lik kirişin merkezden uzaklığı y, 16 cm'lik kirişin merkezden uzaklığı x ve yarıçap r ise; r^2 = x^2 + 64 ve r^2 = y^2 + 36 denklemleri kurulur. Kirişler arası uzaklık y - x = 2 cm olduğundan, denklemlerin eşitliğinden y^2 - x^2 = 28 bulunur. Buradan (y - x)(y + x) = 28 bağıntısıyla y + x = 14 elde edilir. Denklem sistemi çözüldüğünde x = 6 cm ve y = 8 cm bulunur. Pisagor teoremiyle r^2 = 6^2 + 8^2 = 100 bağıntısından yarıçap r = 10 cm olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Çemberin merkezinden paralel kirişlere dikmeler indirin.
Merkezden inilen dikme kirişleri iki eş parçaya böler. 12 cm'lik kirişin yarısı 6 cm, 16 cm'lik kirişin yarısı 8 cm olur.
Çemberde merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar geometrik kuralını uygulamak için.
2
Merkezden kirişlere olan dik uzaklıkları tanımlayarak Pisagor bağıntılarını yazın.
16 cm'lik kirişe olan uzaklık x, 12 cm'lik kirişe olan uzaklık y olsun. Yarıçap r olmak üzere; r^2 = x^2 + 8^2 ve r^2 = y^2 + 6^2 elde edilir.
Yarıçap, merkezden kirişin uç noktalarına çizilen doğrularla dik üçgenler oluşturularak bulunur.
3
Kirişler arasındaki uzaklığı kullanarak x ve y arasındaki ili��kiyi belirleyin.
Kirişler paralel ve merkezin aynı tarafında olduğundan y - x = 2 cm olur.
Soruda verilen kirişler arası mesafeyi cebirsel denkleme dökmek için.
4
İki Pisagor denklemini eşitleyerek y^2 - x^2 farkını bulun.
y^2 + 36 = x^2 + 64 => y^2 - x^2 = 28.
r^2 ortak terimini yok ederek x ve y değişkenlerine bağlı bir denklem elde etmek için.
5
İki kare farkı özdeşliğini uygulayarak y + x değerini bulun.
(y - x)(y + x) = 28 => 2(y + x) = 28 => y + x = 14.
y - x = 2 değerini denklemde yerine koyup y + x toplamına ulaşmak için.
6
y - x = 2 ve y + x = 14 denklem sistemini çözerek x ve y değerlerini hesaplayın.
Taraf tarafa toplandığında 2y = 16 => y = 8 cm ve x = 6 cm bulunur.
Bilinmeyen uzaklık değerlerini kesinleştirmek için.
7
Bulunan x değerini kullanarak yarıçapı hesaplayın.
r^2 = 6^2 + 8^2 => r^2 = 100 => r = 10 cm bulunur.
Pisagor üçgeninden yarıçap uzunluğunu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Çemberde kiriş özellikleri ve Pisagor teoreminin uygulanması

İpuçları

1
Çemberin merkezinden kirişlere dik doğrular çizerek iki adet dik üçgen oluşturun.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 6Soru →

Bir daire diliminin merkez açısı 120∘120^\circ ve çevre uzunluğu 12+4π cm12 + 4\pi\text{ cm}'dir. Buna göre, bu daire diliminin alanı kaç π cm2\pi\text{ cm}^2 dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Daire diliminin alanı 12\pi cm² olarak bulunur.
Daire diliminin çevre uzunluğu, iki yarıçap uzunluğu ile yayın uzunluğunun toplamına eşittir. Buradan yarıçap uzunluğu 6 cm olarak elde edilir. Yarıçapı 6 cm ve merkez açısı 120 derece olan daire diliminin alanı ise 12\pi olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Daire diliminin çevre uzunluğu formülünü yazmak.
Çevre = 2r+θ360⋅2πr2r + \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r
Bir daire diliminin çevre uzunluğu, dilimi sınırlayan iki yarıçapın uzunluğu ile yayın uzunluğunun toplamıdır.
2
Verilen değerleri çevre formülünde yerine koyarak yarıçapı (rr) bulmak.
2r+120360⋅2πr=12+4π  ⟹  r(2+23π)=12+4π  ⟹  r=6 cm2r + \frac{120}{360} \cdot 2\pi r = 12 + 4\pi \implies r\left(2 + \frac{2}{3}\pi\right) = 12 + 4\pi \implies r = 6\text{ cm}
Merkez açı θ=120∘\theta = 120^\circ ve çevre 12+4π12 + 4\pi olarak verilmiştir.
3
Bulunan yarıçap değeri ile daire diliminin alanını hesaplamak.
Alan = 120360⋅πr2=13⋅π⋅62=12π cm2\frac{120}{360} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 = 12\pi\text{ cm}^2
Daire diliminin alanı, tüm dairenin alanının merkez açının 360∘360^\circ'ye oranına çarpılmasıyla bulunur.

Anahtar Kavram

Daire Diliminin Çevresi ve Alanı

Alternatif Yöntem

Daire diliminin alanı, yay uzunluğu (LL) ve yarıçap (rr) bilindiğinde Alan=L⋅r2\text{Alan} = \frac{L \cdot r}{2} formülüyle de hesaplanabilir. Burada yay uzunluğu L=4πL = 4\pi ve yarıçap r=6r = 6 olduğundan, Alan=4π⋅62=12π\text{Alan} = \frac{4\pi \cdot 6}{2} = 12\pi bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Çember ve Daire Alıştırma Soruları — ALES | Examkin