Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇember ve Daire

Bir kenar uzunluğu 8 cm8\text{ cm} olan ABCDABCD karesinin içine, [AB][AB] kenarını çap kabul eden bir yarım çember çizilmiştir. Bu yarım çembere dıştan, karenin ise [BC][BC] ve [CD][CD] kenarlarına içten teğet olan küçük çemberin yarıçapı kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    8−438 - 4\sqrt{3}
  2. B
    16−4316 - 4\sqrt{3}
  3. C
    12−6312 - 6\sqrt{3}
  4. 16−8316 - 8\sqrt{3}Cevap
  5. E
    8−238 - 2\sqrt{3}

Cevap

Küçük çemberin yarıçapı 16−83 cm16 - 8\sqrt{3}\text{ cm}'dir.
Küçük çemberin karenin sağ ve üst kenarlarına teğet olması merkez koordinatlarını (8−r,8−r)(8-r, 8-r) yapar. [AB][AB] çaplı yarım çemberin merkezi ise (4,0)(4,0) noktasıdır. Dıştan teğet olan iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık yarıçaplar toplamına (4+r4+r) eşittir. Bu iki merkez arasında kurulan Pisagor bağıntısı çözüldüğünde elde edilen r2−32r+64=0r^2 - 32r + 64 = 0 denkleminin kare içinde kalan kökü 16−8316 - 8\sqrt{3} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım çemberin merkezini ve yarıçap��nı belirleme.
[AB][AB] çaplı yarım çemberin yarıçapı R=4 cmR = 4\text{ cm} ve merkezi [AB][AB]'nin orta noktası olan O1(4,0)O_1(4,0) noktasıdır.
Karenin bir kenarı 8 cm8\text{ cm} olup çap [AB][AB] olduğu için yarım çemberin yarıçapı bu kenarın yarısıdır.
2
Küçük çemberin merkez koordinatlarını yarıçap cinsinden ifade etme.
Küçük çemberin yarıçapına rr denirse, çemberin merkezi O2(8−r,8−r)O_2(8-r, 8-r) olur.
Küçük çember karenin sağ (x=8x=8) ve üst (y=8y=8) kenarlarına teğet olduğundan merkez koordinatları kenarlardan rr birim uzaklıktadır.
3
Merkezler arasındaki uzaklığı teğetlik koşuluyla bulma.
∣O1O2∣=R+r=4+r|O_1 O_2| = R + r = 4 + r.
İki çember dıştan teğet olduğunda merkezleri arasındaki mesafe, yarıçaplarının toplamına eşit olur.
4
İki nokta arasındaki uzaklık formülü ile Pisagor bağıntısını kurma.
((8−r)−4)2+((8−r)−0)2=(4+r)2  ⟹  (4−r)2+(8−r)2=(4+r)2((8-r)-4)^2 + ((8-r)-0)^2 = (4+r)^2 \implies (4-r)^2 + (8-r)^2 = (4+r)^2.
O1(4,0)O_1(4,0) ve O2(8−r,8−r)O_2(8-r, 8-r) noktaları arasındaki yatay ve dikey mesafeler dik üçgen oluşturur.
5
Denklemi açarak sadeleştirme ve çözme.
16−8r+r2+64−16r+r2=16+8r+r2  ⟹  r2−32r+64=016 - 8r + r^2 + 64 - 16r + r^2 = 16 + 8r + r^2 \implies r^2 - 32r + 64 = 0. Bu denklemin kökleri r=16±83r = 16 \pm 8\sqrt{3}'tür. r<4r < 4 olması gerektiğinden r=16−83 cmr = 16 - 8\sqrt{3}\text{ cm} bulunur.
Küçük çember kare içine sığmak zorunda olduğundan yarıçapı 44'ten küçük olmalıdır.

Anahtar Kavram

İki çemberin dıştan teğet olması durumunda merkezler arası uzaklığın yarıçaplar toplamına eşit olması ve dik koordinat sisteminde Pisagor bağıntısının uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru