Examkin

Soru

Zorluk: ZorÖzdeşlikler
aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
a2b+b2a=4(a+b) \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} = 4(a+b)
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, ab+ba\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ifadesinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

  1. A
    3
  2. B
    4
  3. 5Cevap
  4. D
    6
  5. E
    7

Cevap

İfadenin alabileceği pozitif değer 5'tir.
Verilen denklemde payda eşitlendiğinde a3+b3a^3+b^3 ifadesi elde edilir. Bu ifade (a+b)(a2−ab+b2)(a+b)(a^2-ab+b^2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Eşitliğin her iki tarafındaki (a+b)(a+b) çarpanları sadeleştirildiğinde a2−ab+b2=4aba^2-ab+b^2 = 4ab kalır. Buradan a2+b2=5aba^2+b^2 = 5ab bulunur. Sorulan ifade payda eşitlendiğinde a2+b2ab\frac{a^2+b^2}{ab} olduğundan, sonuç 5abab=5\frac{5ab}{ab} = 5 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitliğin sol tarafında payda eşitlemesi yap.
a3+b3ab=4(a+b)\frac{a^3 + b^3}{ab} = 4(a+b)
Rasyonel ifadeleri toplamak için paydaların eşitlenmesi gerekir.
2
İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi düzenle.
a3+b3=4ab(a+b)a^3 + b^3 = 4ab(a+b)
Bölüm durumundaki ifadeyi çarpım durumuna getirerek denklem çözümünü kolaylaştırmak.
3
İki küp toplamı (a3+b3a^3+b^3) özdeşliğini uygula.
(a+b)(a2−ab+b2)=4ab(a+b)(a+b)(a^2 - ab + b^2) = 4ab(a+b)
Çarpanlara ayırma yöntemiyle ortak terimleri ortaya çıkarmak.
4
Eşitliğin her iki tarafını (a+b)(a+b) ifadesine böl (Sadeleştirme).
a2−ab+b2=4aba^2 - ab + b^2 = 4ab
İfadenin pozitif değeri sorulduğu için a+b≠0a+b \neq 0 kabul edilir ve sadeleştirme yapılır. (a+b=0a+b=0 durumu negatif sonuç verir).
5
−ab-ab terimini karşı tarafa atarak a2+b2a^2 + b^2 ifadesini yalnız bırak.
a2+b2=5aba^2 + b^2 = 5ab
Sorulan ifadeyi elde etmek için kareler toplamını abab cinsinden yazmak.
6
Sorulan ifadeyi (ab+ba \frac{a}{b} + \frac{b}{a} ) düzenle ve bulduğun değeri yerine yaz.
a2+b2ab=5abab=5\frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{5ab}{ab} = 5
Sonuca ulaşmak için elde edilen eşitliği kullanmak.

Anahtar Kavram

İki küp toplamı özdeşliği (x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)) ve rasyonel ifadelerde sadeleştirme.

İpuçları

1
Verilen eşitliğin sol tarafında payda eşitleyerek işe başlayın.
2
Payda eşitledikten sonra ortaya çıkan a3+b3a^3 + b^3 ifadesini çarpanlarına ayırın: (a+b)(a2−ab+b2)(a+b)(a^2 - ab + b^2).
3
Eşitliğin her iki tarafındaki (a+b)(a+b) çarpanlarını sadeleştirin ve a2+b2a^2+b^2 ile abab arasındaki ilişkiyi bulun.

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi bu tür sorularda zordur ancak a2+b2=kaba^2+b^2=kab formuna ulaştıktan sonra homojen denklem mantığıyla her terimi abab'ye bölerek doğrudan sonuca gidilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru