Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzdeşlikler
xx ve yy sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
1x+1y=32vex⋅y=4\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{2} \quad \text{ve} \quad x \cdot y = 4
olduğuna göre, x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    20
  2. 28Cevap
  3. C
    32
  4. D
    36
  5. E
    44

Cevap

İstenen ifadenin değeri 28'dir.
Soruda verilen rasyonel ifadeden x+yx+y toplamının 6 olduğu bulunur. x2+y2x^2+y^2 ifadesi, (x+y)2−2xy(x+y)^2 - 2xy özdeşliğine eşittir. Değerler yerine konulduğunda 36−8=2836 - 8 = 28 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel denklemin paydalarını eşitleyerek x+yx+y toplamını bul.
x+yx⋅y=32\frac{x+y}{x \cdot y} = \frac{3}{2}
İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde toplam ve çarpım değerlerine ulaşmak çözümün ilk adımıdır.
2
x⋅y=4x \cdot y = 4 değerini yerine yazarak x+yx+y değerini hesapla.
x+y4=32⇒2(x+y)=12⇒x+y=6\frac{x+y}{4} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2(x+y) = 12 \Rightarrow x+y = 6
Toplam (x+yx+y) ve çarpım (x⋅yx \cdot y) değerleri bilindiğinde kareler toplamı hesaplanabilir.
3
x2+y2x^2 + y^2 ifadesini (x+y)(x+y) ve xyxy cinsinden yazan özdeşliği kullan.
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy
Tam kare özdeşliği (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 düzenlenerek kareler toplamı yalnız bırakılır.
4
Bulunan değerleri özdeşlikte yerine koyarak sonucu bul.
x2+y2=62−2(4)=36−8=28x^2 + y^2 = 6^2 - 2(4) = 36 - 8 = 28
İşlem hatası yapmadan sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İki terimin toplamının karesi özdeşliği: (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru