Examkin

Soru

Zorluk: ZorÖzdeşlikler
x,yx, y ve zz gerçel sayıları için,
x+y+z=4 x + y + z = 4
x2+y2+z2=18 x^2 + y^2 + z^2 = 18
x3+y3+z3=58 x^3 + y^3 + z^3 = 58
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, x⋅y⋅zx \cdot y \cdot z çarpımı kaçtır?

  1. A
    -12
  2. -6Cevap
  3. C
    4
  4. D
    6
  5. E
    8

Cevap

-6
Verilen üç denklem, x,y,zx, y, z değişkenlerinin simetrik özdeşliklerini kullanmayı gerektirir. Öncelikle (x+y+z)2(x+y+z)^2 açılarak ikili çarpımların toplamı bulunur, ardından x3+y3+z3−3xyzx^3+y^3+z^3-3xyz özdeşliği kullanılarak çarpım değeri elde edilir. İşlemler doğru takip edildiğinde sonuç -6 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx) özdeşliğini kullanarak xy+yz+zxxy+yz+zx değerini bul.
42=18+2(xy+yz+zx)⇒16=18+2(xy+yz+zx)⇒2(xy+yz+zx)=−2⇒xy+yz+zx=−14^2 = 18 + 2(xy+yz+zx) \Rightarrow 16 = 18 + 2(xy+yz+zx) \Rightarrow 2(xy+yz+zx) = -2 \Rightarrow xy+yz+zx = -1
Üç terimli küp açılımını kullanabilmek için ikili çarpımların toplamına ihtiyacımız var.
2
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)⋅[(x2+y2+z2)−(xy+yz+zx)]x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z) \cdot [ (x^2+y^2+z^2) - (xy+yz+zx) ] özdeşliğinde bilinen değerleri yerine yaz.
58−3xyz=4⋅[18−(−1)]58 - 3xyz = 4 \cdot [ 18 - (-1) ]
Bu özdeşlik, kareler toplamı, küpler toplamı ve sayıların çarpımı arasındaki ilişkiyi kurar.
3
Elde edilen denklemi çözerek xyzxyz değerini hesapla.
58−3xyz=4⋅19⇒58−3xyz=76⇒−3xyz=18⇒xyz=−658 - 3xyz = 4 \cdot 19 \Rightarrow 58 - 3xyz = 76 \Rightarrow -3xyz = 18 \Rightarrow xyz = -6
Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üç Terimlilerin Kare ve Küp Özdeşlikleri

İpuçları

1
Soruda verilenler x,y,zx, y, z toplamı, kareleri toplamı ve küpleri toplamıdır. Bu üç ifadeyi birbirine bağlayan iki temel özdeşliği hatırlamalısın.
2
Önce (x+y+z)2(x+y+z)^2 açılımını yaparak xy+yz+zxxy+yz+zx değerini hesapla.
3
x3+y3+z3−3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2−(xy+yz+zx))x^3+y^3+z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 - (xy+yz+zx)) formülünü kullan.

Alternatif Yöntem

Newton Toplamları (Newton Sums) yöntemiyle de S1,S2,S3S_1, S_2, S_3 kullanılarak polinom katsayıları bulunabilir, ancak KPSS müfredatı için yukarıdaki özdeşlik yöntemi esastır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru