Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzdeşlikler
x=7+1x = \sqrt{7} + 1 ve y=7−1y = \sqrt{7} - 1 olduğuna göre, x2+2xy+y2x2−y2\frac{x^2 + 2xy + y^2}{x^2 - y^2} ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    77
  2. B
    272\sqrt{7}
  3. 7\sqrt{7}Cevap
  4. D
    72\frac{\sqrt{7}}{2}
  5. E
    11

Cevap

İfadenin sadeleştirilmiş halindeki değerlerin yerine konulmasıyla elde edilen sonuç 7\sqrt{7} değeridir.
Verilen rasyonel ifadenin payı (x+y)(x+y)'nin karesi, paydası ise (x−y)(x-y) ile (x+y)(x+y)'nin çarpımıdır. Sadeleştirme yapıldığında x+yx−y\frac{x+y}{x-y} elde edilir. xx ve yy değerleri toplandığında 272\sqrt{7}, çıkarıldığında ise 22 elde edildiği için bu oran 7\sqrt{7} sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki ifadeleri özdeşlikler yardımıyla çarpanlarına ayırın.
Pay: x2+2xy+y2=(x+y)2x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2, Payda: x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)
Rasyonel ifadelerde sadeleştirme yapabilmek için ifadelerin çarpanlarına ayrılması gerekir.
2
Ortak çarpanları sadeleştirin.
(x+y)2(x−y)(x+y)=x+yx−y\frac{(x+y)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y}{x-y}
Hem payda hem de paydada bulunan (x+y)(x+y) terimi sadeleşir.
3
Verilen xx ve yy değerleri için x+yx+y ve x−yx-y toplamlarını hesaplayın.
x+y=(7+1)+(7−1)=27x+y = (\sqrt{7}+1) + (\sqrt{7}-1) = 2\sqrt{7} ve x−y=(7+1)−(7−1)=2x-y = (\sqrt{7}+1) - (\sqrt{7}-1) = 2
Sadeleşmiş ifadede yerine koymak üzere temel toplam ve fark işlemleri yapılır.
4
Bulunan değerleri sadeleşmiş ifadede yerine yazarak sonucu bulun.
x+yx−y=272=7\frac{x+y}{x-y} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}
Sayısal değerlerin oranlanmasıyla en sade sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Tam kare ve iki kare farkı özdeşliklerini rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesinde kullanma.

İpuçları

1
İfadedeki rasyonel yapıyı sadeleştirmek için hem payı hem de paydayı çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
Paydaki x2+2xy+y2x^2 + 2xy + y^2 ifadesi bir tam kare açılımıdır. Paydadaki x2−y2x^2 - y^2 ise iki kare farkıdır.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkı ve tam kare özdeşliklerini içeren karma rasyonel ifadeler üzerinde pratik yapın.

Alternatif Yöntem

Özdeşlikleri kullanmadan doğrudan xx ve yy değerlerinin karesini alarak (x2=8+27x^2 = 8+2\sqrt{7}, y2=8−27y^2 = 8-2\sqrt{7}) ve çarparak (xy=6xy = 6) da çözüme ulaşılabilir. Ancak bu yöntem daha uzun süreceği için özdeşlik sadeleştirmesi tercih edilmelidir.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru