Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzdeşlikler
xx ve yy gerçel sayıları için,
(x+y)2=45(x+y)^2 = 45
(x−y)2=21(x-y)^2 = 21
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, x⋅yx \cdot y çarpımı kaçtır?

  1. A
    3
  2. 6Cevap
  3. C
    12
  4. D
    24
  5. E
    33

Cevap

6
Soruda verilen (x+y)2(x+y)^2 ve (x−y)2(x-y)^2 ifadeleri arasındaki temel ilişki (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy özdeşliğidir. Verilen sayısal değerler (45 ve 21) bu denklemde yerine konulduğunda 45−21=2445 - 21 = 24 bulunur. Bu değer 4xy4xy'ye eşittir. Her iki taraf 4'e bölündüğünde xy=6xy = 6 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki ifade taraf tarafa çıkarılır.
(x+y)2−(x−y)2=45−21(x+y)^2 - (x-y)^2 = 45 - 21
x⋅yx \cdot y terimini elde etmek için tam kare ifadelerin farkından yararlanılır.
2
Tam kare açılımları yazılarak işlem düzenlenir.
(x2+2xy+y2)−(x2−2xy+y2)=24(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 24
Parantez içindeki terimlerin işaretlerine dikkat edilerek çıkarma işlemi yapılır.
3
Sadeleştirme yapılır ve xyxy bulunur.
4xy=24⇒xy=64xy = 24 \Rightarrow xy = 6
x2x^2 ve y2y^2 terimleri birbirini götürür, geriye 4xy4xy kalır.

Anahtar Kavram

İki terimin toplamının ve farkının karesi özdeşlikleri arasındaki ilişki: (x+y)2−(x−y)2=4xy(x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy

İpuçları

1
(x+y)2(x+y)^2 ve (x−y)2(x-y)^2 ifadelerini açık halleriyle (x2+2xy+y2x^2 + 2xy + y^2 ve x2−2xy+y2x^2 - 2xy + y^2) yazmayı deneyin.
2
Yazdığınız bu iki ifadeyi taraf tarafa çıkarırsanız x2x^2 ve y2y^2 terimleri yok olur.
3
Çıkarma işlemi sonucunda elinizde sadece 4xy4xy kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

x2+y2x^2 + y^2 toplamının sorulduğu bir soru çözerek iki yöntem arasındaki farkı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak; birinci denklemden x2+y2=45−2xyx^2 + y^2 = 45 - 2xy, ikinci denklemden x2+y2=21+2xyx^2 + y^2 = 21 + 2xy yazıp bu iki ifade birbirine eşitlenerek de çözülebilir: 45−2xy=21+2xy⇒24=4xy45 - 2xy = 21 + 2xy \Rightarrow 24 = 4xy.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru