Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzdeşlikler
aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere,
a3−b3=19a^3 - b^3 = 19
olduğuna göre, a2+b2a^2 + b^2 toplamının değeri kaçtır?
  1. A
    10
  2. 13Cevap
  3. C
    17
  4. D
    25
  5. E
    37

Cevap

İki kare toplamının değeri 13 olarak bulunur.
Verilen küp farkı ifadesi (a−b)(a2+ab+b2)=19(a-b)(a^2+ab+b^2)=19 şeklinde çarpanlarına ayrılır. 19 asal bir sayı olduğu ve a,ba, b pozitif tam sayılar olduğu için a−b=1a-b=1 ve a2+ab+b2=19a^2+ab+b^2=19 eşitlikleri kurulur. Birinci denklemden a=b+1a=b+1 elde edilir. Bu değer ikinci denklemde yerine yazıldığında b=2b=2 ve a=3a=3 değerlerine ulaşılır. Bu değerlerin kareleri toplamı olan 32+22=133^2 + 2^2 = 13 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Küp farkı özdeşliğini uygulayın.
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=19a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 19
İfadedeki değişkenlerin değerlerini bulabilmek için çarpanlara ayırma yöntemi kullanılır.
2
19 sayısının asal çarpanlarını belirleyin.
19 asaldır, çarpanları 1 ve 19'dur. aa ve bb pozitif tam sayı olduğundan a>ba > b olmalıdır; dolayısıyla a−b=1a - b = 1 ve a2+ab+b2=19a^2 + ab + b^2 = 19 olur.
Tam sayı kısıtlaması ve asal sayı özelliği denklemi basitleştirir.
3
Birinci dereceden denklemden aa değerini bb cinsinden yazıp ikinci denklemde yerine koyun.
a=b+1a = b + 1 için (b+1)2+(b+1)b+b2=19⇒3b2+3b+1=19(b + 1)^2 + (b + 1)b + b^2 = 19 \Rightarrow 3b^2 + 3b + 1 = 19
İki bilinmeyenli sistemi tek bilinmeyene indirgemek için yerine koyma yöntemi uygulanır.
4
İkinci dereceden denklemi çözerek bb ve aa değerlerini bulun.
3b2+3b−18=0⇒b2+b−6=0⇒(b+3)(b−2)=03b^2 + 3b - 18 = 0 \Rightarrow b^2 + b - 6 = 0 \Rightarrow (b + 3)(b - 2) = 0. bb pozitif olduğundan b=2b = 2 ve buradan a=3a = 3 bulunur.
Pozitif tam sayı şartını sağlayan kök seçilir.
5
a2+b2a^2 + b^2 toplamını hesaplayın.
32+22=9+4=133^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
Soru kökünde istenen nihai işlem gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

İki küp farkı özdeşliği ve tam sayılarda çarpanlara ayırma

İpuçları

1
a3−b3a^3 - b^3 ifadesini çarpanlarına ayırarak başlayın ve ifadenin 19'a eşitliğini yazın.
2
19 sayısının asal olduğunu düşünerek, çarpanların hangi tam sayı değerlerini alabileceğini belirleyin.
3
a−b=1a-b=1 ve a2+ab+b2=19a^2+ab+b^2=19 denklemlerini ortak çözerek pozitif tam sayı olan aa ve bb değerlerini bulun.

Daha Fazla Pratik

İki küp toplamı (a3+b3a^3 + b^3) formülünü de kullanarak benzer tam sayı problemlerini çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru