Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir kalkınma ajansı, 'Kırsal Kalkınma Destek Programı' kapsamında üç farklı kategoride hibe desteği sağlamaktadır. Proje kategorilerine göre verilen hibe tutarları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Proje KategorisiHibe Tutarı
Küçük Ölçekli60.000 TL
Orta Ölçekli80.000 TL
Büyük Ölçekli150.000 TL

Program kapsamında toplam 25 projeye hibe verilmiş ve 2.700.000 TL bütçenin tamamı dağıtılmıştır. Her kategoriden en az bir proje desteklendiği bilinmektedir.

Buna göre, destek sağlanan Orta Ölçekli proje sayısı kaçtır?

  1. A
    5
  2. 6Cevap
  3. C
    7
  4. D
    10
  5. E
    12

Cevap

Desteklenen Orta Ölçekli proje sayısı 6'dır.
Kurulan 2o+9b=1202o + 9b = 120 denklemi ve k=3.5b−35k = 3.5b - 35 bağıntısı incelendiğinde; proje sayılarının pozitif tam sayı olması gerekliliği sadece b=12b=12 değerinde sağlanır. Bu durumda orta ölçekli proje sayısı o=6o = 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımla ve denklem sistemini kur.
Küçük: kk, Orta: oo, Büyük: bb olsun.
1) k+o+b=25k + o + b = 25
2) 60.000k+80.000o+150.000b=2.700.00060.000k + 80.000o + 150.000b = 2.700.000
Problemdeki verileri matematiksel ifadelere dökmek gerekir.
2
Para denklemini sadeleştir.
Her terimi 10.000'e böl: 6k+8o+15b=2706k + 8o + 15b = 270.
Büyük sayılarla işlem yapmayı kolaylaştırmak için sadeleştirme yapılır.
3
Birinci denklemden kk'yı çekip ikinci denklemde yerine yaz (Yok etme metodu).
k=25−o−bk = 25 - o - b
6(25−o−b)+8o+15b=2706(25 - o - b) + 8o + 15b = 270
150−6o−6b+8o+15b=270150 - 6o - 6b + 8o + 15b = 270
2o+9b=1202o + 9b = 120
Değişken sayısını azaltarak çözüme yaklaşmak için.
4
Elde edilen 2o+9b=1202o + 9b = 120 Diophant denklemini tam sayı şartlarına göre analiz et.
2o=120−9b2o = 120 - 9b. 2o2o ve 120120 çift sayı olduğu için 9b9b çift olmalı, yani bb çift sayı olmalıdır (2,4,6...2, 4, 6...).
Ayrıca k>0k > 0 olduğu için o+b<25o + b < 25 olmalıdır.
Proje sayıları pozitif tam sayı olmak zorundadır.
5
Olası bb değerlerini dene ve kk'nın pozitiflik şartını kontrol et.
o=60−4.5bo = 60 - 4.5b ve k=25−(o+b)=3.5b−35k = 25 - (o + b) = 3.5b - 35.
k>0k > 0 olması için 3.5b>353.5b > 35 yani b>10b > 10 olmalıdır.
bb çift sayı ve b>10b > 10 şartını sağlayan tek uygun değer, oo'yu negatif yapmayan b=12b=12'dir.
b=12b=12 için: o=60−4.5(12)=60−54=6o = 60 - 4.5(12) = 60 - 54 = 6.
Denklem sisteminin tek bir geçerli tam sayı çözümü vardır.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde, denklem sayısı bilinmeyen sayısından az olduğunda (Diophant denklemleri), değişkenlerin tam sayı olma şartı ve problemdeki kısıtlamalar (örneğin k>0) kullanılarak tekil çözüm bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru