Examkin

Soru

Zorluk: ZorÖzdeşlikler
xx ve yy gerçel sayılar olmak üzere,
x2+y2−12x+10y+61=0x^2 + y^2 - 12x + 10y + 61 = 0
eşitliği veriliyor.

Buna göre, x−yx - y farkı kaçtır?

  1. A
    -11
  2. B
    1
  3. 11Cevap
  4. D
    22
  5. E
    61

Cevap

11
Verilen ifade (x−6)2+(y+5)2=0(x-6)^2 + (y+5)^2 = 0 şeklinde düzenlendiğinde, gerçel sayılar kümesinde çözüm için her iki tam karenin içi sıfır olmalıdır. Buradan x=6x=6 ve y=−5y=-5 bulunur. Farkları 6−(−5)=116 - (-5) = 11 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadeyi tam kare ifadeler oluşturacak şekilde gruplandır
(x2−12x)+(y2+10y)+61=0(x^2 - 12x) + (y^2 + 10y) + 61 = 0
İki değişkenli ikinci dereceden ifadelerde çözüm kümesi bulmak için tam kareye tamamlama yöntemi kullanılır.
2
Sabit sayı olan 61'i, tam kareleri tamamlayacak şekilde parçala
(x2−12x+36)+(y2+10y+25)=0(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 10y + 25) = 0
(−12/2)2=36(-12/2)^2 = 36 ve (10/2)2=25(10/2)^2 = 25 olduğundan, 36+25=6136+25=61 eşitliği tam sağlanır.
3
İfadeleri tam kare formunda yaz
(x−6)2+(y+5)2=0(x-6)^2 + (y+5)^2 = 0
Tam kare özdeşlikleri: (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 ve (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2.
4
Gerçel sayılarda kareler toplamının sıfır olması kuralını uygula
x−6=0⇒x=6x-6=0 \Rightarrow x=6 ve y+5=0⇒y=−5y+5=0 \Rightarrow y=-5
Gerçel sayıların kareleri negatif olamaz. Toplamları sıfırsa, her bir terim ayrı ayrı sıfır olmalıdır.
5
İstenen x−yx-y değerini hesapla
6−(−5)=6+5=116 - (-5) = 6 + 5 = 11
Sonuç hesabı.

Anahtar Kavram

İki Değişkenli İfadelerde Tam Kareye Tamamlama

İpuçları

1
İfadeyi xx ve yy terimlerini ayrı ayrı gruplandırarak düşünün: (x2−12x+… )+(y2+10y+… )+⋯=0(x^2 - 12x + \dots) + (y^2 + 10y + \dots) + \dots = 0
2
Grupları tam kareye tamamlamak için sabit sayı 61'i iki parçaya ayırmanız gerekir: (x−a)2(x-a)^2 ve (y+b)2(y+b)^2 formlarını arayın.
3
x2−12xx^2 - 12x ifadesi (x−6)2(x-6)^2'den gelir ve 36 gerektirir. y2+10yy^2 + 10y ifadesi (y+5)2(y+5)^2'den gelir ve 25 gerektirir. 36+25=6136+25=61 tam uyuşuyor.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla x2+y2=0x^2 + y^2 = 0 ise x=0,y=0x=0, y=0 kuralını içeren köklü ifadeler sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Türev bilgisi olanlar için (KPSS müfredat dışı olsa da): İfade f(x,y)f(x,y) olarak düşünülürse minimum noktası fx=2x−12=0f_x = 2x-12=0 ve fy=2y+10=0f_y = 2y+10=0 ile bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru