Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÖzel Tanımlı İşlemler
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=xy−5x−5y+30x \triangle y = xy - 5x - 5y + 30
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, bu işleme göre tersi kendisine eşit olan tüm sayıların toplamı kaçtır?
  1. A
    8
  2. B
    9
  3. 10Cevap
  4. D
    11
  5. E
    12

Cevap

Tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı 10'dur.
Verilen işlemde birim eleman e=6e=6 olarak bulunur. Bir sayının tersi x−1=5x−24x−5x^{-1} = \frac{5x-24}{x-5} formülüyle hesaplanır. Tersi kendisine eşit olan sayılar için x=x−1x = x^{-1} eşitliği çözüldüğünde x=4x=4 ve x=6x=6 değerleri bulunur. Bu değerlerin toplamı 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (ee) bulmak için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini çöz.
xe−5x−5e+30=x⇒x(e−5)−5(e−5)+5=xxe - 5x - 5e + 30 = x \Rightarrow x(e-5) - 5(e-5) + 5 = x (Alternatif: (x−5)(e−5)+5=x(x-5)(e-5) + 5 = x). Buradan (x−5)(e−5)=x−5(x-5)(e-5) = x-5 elde edilir. Sadeleştirilirse e−5=1⇒e=6e-5=1 \Rightarrow e=6.
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce o işlemin birim elemanının bilinmesi gerekir.
2
Bir xx sayısının tersini (x−1x^{-1}) bulmak için x△x−1=ex \triangle x^{-1} = e eşitliğini kur.
x△y=6⇒xy−5x−5y+30=6x \triangle y = 6 \Rightarrow xy - 5x - 5y + 30 = 6.
Ters eleman tanımı gereği, bir sayı tersiyle işleme girdiğinde birim elemanı vermelidir.
3
yy (yani x−1x^{-1}) değerini xx cinsinden ifade et.
y(x−5)−5x+30=6⇒y(x−5)=5x−24y(x-5) - 5x + 30 = 6 \Rightarrow y(x-5) = 5x - 24. Buradan y=5x−24x−5y = \frac{5x-24}{x-5} bulunur.
Ters fonksiyon kuralını oluşturmak için.
4
Tersi kendisine eşit olan sayıları bulmak için y=xy = x eşitliğini çöz.
x=5x−24x−5⇒x(x−5)=5x−24⇒x2−5x=5x−24⇒x2−10x+24=0x = \frac{5x-24}{x-5} \Rightarrow x(x-5) = 5x-24 \Rightarrow x^2 - 5x = 5x - 24 \Rightarrow x^2 - 10x + 24 = 0.
Soruda istenen özel koşulu sağlamak için.
5
İkinci dereceden denklemin köklerini bul ve topla.
(x−6)(x−4)=0(x-6)(x-4) = 0 denkleminin kökleri x1=6x_1 = 6 ve x2=4x_2 = 4'tür. Toplamları: 6+4=106 + 4 = 10.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemlerde Birim ve Ters Eleman

İpuçları

1
Önce işlemin 'birim elemanını' (ee) bulmalısın. Birim eleman kuralı: x△e=xx \triangle e = x.
2
Birim elemanı e=6e=6 bulduktan sonra, ters eleman (yy) kuralını x△y=6x \triangle y = 6 eşitliğinden yy'yi çekerek bulabilirsin.
3
Tersi kendisine eşit demek y=xy = x demektir. Bulduğun ters eleman formülünü xx'e eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.

Daha Fazla Pratik

Aynı işlem için 'Hangi sayının tersi yoktur?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Verilen ifade (x−5)(y−5)+5(x-5)(y-5) + 5 şeklinde düzenlenebilir. Bu formda işlem çarpma işlemine benzer özellik gösterir. Çarpma işleminde birim eleman 1 olduğundan, burada (e−5)=1⇒e=6(e-5)=1 \Rightarrow e=6 olur. Tersi kendine eşit olanlar ise (x−5)2=1(x-5)^2 = 1 sağlayanlardır.
Tahmini Süre:3m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özel Tanımlı İşlemler

Bu konudan daha fazla soru