Examkin

Özel Tanımlı İşlemler

29 soru

Soru 1Soru →
Gerçel sayılar kümesinde, her x,yx, y için
xΔy=xy+3x+3y+mx \Delta y = xy + 3x + 3y + m
eşitliğiyle verilen işlemin birim (etkisiz) elemanı bulunmaktadır.

Buna göre, bu işlemde tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı 8'dir.
İşlemin birim elemanı e=−2e=-2 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan sayılar için kurulan x2+6x+8=0x^2 + 6x + 8 = 0 denkleminin kökleri -2 ve -4 olduğundan çarpımları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Birim elemanı (ee) ve bilinmeyen parametreyi (mm) bulmak için birim eleman tanımı (xΔe=xx \Delta e = x) kullanılır.
x⋅e+3x+3e+m=x  ⟹  e(x+3)=−2x−mx \cdot e + 3x + 3e + m = x \implies e(x+3) = -2x - m
Birim elemanın var olabilmesi için eşitliğin her xx değeri için sağlanması gerekir.
2
Eşitliğin her iki tarafındaki katsayılar oranlanarak ee ve mm değerleri hesaplanır.
e−2=xx  ⟹  e=−2\frac{e}{-2} = \frac{x}{x} \implies e = -2. Sabit terimlerden: 3(−2)=−m  ⟹  m=63(-2) = -m \implies m = 6.
Polinom eşitliği ilkesi gereği xx'li terimlerin ve sabitlerin oranları tutarlı olmalıdır.
3
Tersi kendisine eşit olan sayıları bulmak için xΔx=ex \Delta x = e denklemi kurulur.
x⋅x+3x+3x+6=−2  ⟹  x2+6x+8=0x \cdot x + 3x + 3x + 6 = -2 \implies x^2 + 6x + 8 = 0
Bir elemanın tersi kendisine eşitse, o eleman kendisiyle işleme girdiğinde sonuç birim eleman (e=−2e=-2) olmalıdır.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemin kökleri ve çarpımı bulunur.
(x+4)(x+2)=0(x+4)(x+2) = 0 ise kökler x1=−4x_1 = -4 ve x2=−2x_2 = -2. Çarpım: (−4)⋅(−2)=8(-4) \cdot (-2) = 8.
Kökler çarpımı formülü (c/ac/a) veya köklerin doğrudan çarpımı ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemlerde Birim ve Ters Eleman

İpuçları

1
Öncelikle işlemin birim elemanını (ee) bulmalısın. Birim eleman tanımı: her xx için xΔe=xx \Delta e = x.
2
x(e+3)+3e+m=xx(e+3) + 3e + m = x eşitliğinin her xx için sağlanması, xx'in katsayısının ve sabit terimin uygun ayarlanmasını gerektirir.
3
Birim eleman e=−2e = -2 dir. Tersi kendisine eşit olması için xΔx=−2x \Delta x = -2 denklemini çözmelisin.

Daha Fazla Pratik

Birim elemanı olmayan bir işlemde yutan elemanı bulmayı gerektiren bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

İşlem (x+3)(y+3)−3(x+3)(y+3) - 3 biçiminde düzenlenebilir (m=6m=6 olduğu görüldükten sonra). Bu formda birim eleman e+3=1  ⟹  e=−2e+3=1 \implies e=-2 ve tersi kendisine eşitlik (x+3)2=1(x+3)^2 = 1 şeklinde daha hızlı çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 2Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde △\triangle ve ◯\bigcirc işlemleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

x△y=3x−2yx \triangle y = 3x - 2y
x◯y={(x△y)2,x<yy△x,x≥yx \bigcirc y = \begin{cases} (x \triangle y)^2, & x < y \\ y \triangle x, & x \ge y \end{cases}

Buna göre, k◯5=4k \bigcirc 5 = 4 eşitliğini sağlayan kk değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 736\frac{73}{6}

Cevap

Doğru cevap, denklemi sağlayan üç farklı değerin toplamı olan \frac{73}{6}'dır.
Soruda verilen parçalı işlem tanımına göre kk değerinin 5'ten küçük veya büyük olmasına göre iki farklı denklem kurulmalıdır. k<5k < 5 için (3k−10)2=4(3k-10)^2=4 denkleminden k=4k=4 ve k=8/3k=8/3 kökleri bulunur; her ikisi de şartı sağlar. k≥5k \ge 5 için ise parametreler yer değiştirerek 5△k=15−2k=45 \triangle k = 15-2k=4 denklemi çözülür ve k=11/2k=11/2 bulunur; bu da şartı sağlar. Bu üç değerin toplamı 73/673/6 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
k◯5k \bigcirc 5 işlemini tanımlı koşullara göre iki ayrı durumda incele.
Durum 1: k<5k < 5 ve Durum 2: k≥5k \ge 5
Parçalı fonksiyon tanımı xx ve yy arasındaki büyüklük ilişkisine dayanmaktadır.
2
1. Durum (k<5k < 5) için denklemi çöz.
(k△5)2=4⇒(3k−10)2=4(k \triangle 5)^2 = 4 \Rightarrow (3k - 10)^2 = 4. Buradan ∣3k−10∣=2|3k - 10| = 2 elde edilir. Çözümler: 3k−10=2⇒k=43k-10=2 \Rightarrow k=4 ve 3k−10=−2⇒k=8/33k-10=-2 \Rightarrow k=8/3.
Karesi 4 olan sayılar 2 ve -2'dir. Her iki kök de k<5k < 5 şartını sağlar (4<54 < 5 ve 2,66...<52,66... < 5).
3
2. Durum (k≥5k \ge 5) için denklemi çöz.
5△k=4⇒3(5)−2k=45 \triangle k = 4 \Rightarrow 3(5) - 2k = 4. Buradan 15−2k=4⇒2k=11⇒k=11/215 - 2k = 4 \Rightarrow 2k = 11 \Rightarrow k = 11/2.
Tanım gereği x≥yx \ge y olduğunda işlem y△xy \triangle x olarak uygulanır. Bulunan 5,55,5 değeri k≥5k \ge 5 şartını sağlar.
4
Bulunan tüm geçerli kk değerlerini topla.
4+83+112=246+166+336=7364 + \frac{8}{3} + \frac{11}{2} = \frac{24}{6} + \frac{16}{6} + \frac{33}{6} = \frac{73}{6}
Rasyonel sayılarda toplama işlemi için paydalar 6'da eşitlenir.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı ve Parçalı Fonksiyonlar

İpuçları

1
İşlem parçalı tanımlandığı için kk değerinin 5'ten küçük olduğu durum ile 5'ten büyük veya eşit olduğu durumu ayrı ayrı incelemelisiniz.
2
k<5k < 5 durumunda karşınıza (A)2=4(A)^2 = 4 şeklinde bir denklem çıkacaktır. Bu denklemin pozitif ve negatif olmak üzere iki çözümü olduğunu unutmayın.
3
k≥5k \ge 5 durumunda tanım gereği y△xy \triangle x uygulanmalıdır, yani xx ve yy yer değiştirmelidir. Bu durumda denklem 5△k=45 \triangle k = 4 halini alır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 3Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=xy−5x−5y+30x \triangle y = xy - 5x - 5y + 30
eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, bu işleme göre tersi kendisine eşit olan tüm sayıların toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı 10'dur.
Verilen işlemde birim eleman e=6e=6 olarak bulunur. Bir sayının tersi x−1=5x−24x−5x^{-1} = \frac{5x-24}{x-5} formülüyle hesaplanır. Tersi kendisine eşit olan sayılar için x=x−1x = x^{-1} eşitliği çözüldüğünde x=4x=4 ve x=6x=6 değerleri bulunur. Bu değerlerin toplamı 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (ee) bulmak için x△e=xx \triangle e = x eşitliğini çöz.
xe−5x−5e+30=x⇒x(e−5)−5(e−5)+5=xxe - 5x - 5e + 30 = x \Rightarrow x(e-5) - 5(e-5) + 5 = x (Alternatif: (x−5)(e−5)+5=x(x-5)(e-5) + 5 = x). Buradan (x−5)(e−5)=x−5(x-5)(e-5) = x-5 elde edilir. Sadeleştirilirse e−5=1⇒e=6e-5=1 \Rightarrow e=6.
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce o işlemin birim elemanının bilinmesi gerekir.
2
Bir xx sayısının tersini (x−1x^{-1}) bulmak için x△x−1=ex \triangle x^{-1} = e eşitliğini kur.
x△y=6⇒xy−5x−5y+30=6x \triangle y = 6 \Rightarrow xy - 5x - 5y + 30 = 6.
Ters eleman tanımı gereği, bir sayı tersiyle işleme girdiğinde birim elemanı vermelidir.
3
yy (yani x−1x^{-1}) değerini xx cinsinden ifade et.
y(x−5)−5x+30=6⇒y(x−5)=5x−24y(x-5) - 5x + 30 = 6 \Rightarrow y(x-5) = 5x - 24. Buradan y=5x−24x−5y = \frac{5x-24}{x-5} bulunur.
Ters fonksiyon kuralını oluşturmak için.
4
Tersi kendisine eşit olan sayıları bulmak için y=xy = x eşitliğini çöz.
x=5x−24x−5⇒x(x−5)=5x−24⇒x2−5x=5x−24⇒x2−10x+24=0x = \frac{5x-24}{x-5} \Rightarrow x(x-5) = 5x-24 \Rightarrow x^2 - 5x = 5x - 24 \Rightarrow x^2 - 10x + 24 = 0.
Soruda istenen özel koşulu sağlamak için.
5
İkinci dereceden denklemin köklerini bul ve topla.
(x−6)(x−4)=0(x-6)(x-4) = 0 denkleminin kökleri x1=6x_1 = 6 ve x2=4x_2 = 4'tür. Toplamları: 6+4=106 + 4 = 10.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemlerde Birim ve Ters Eleman

İpuçları

1
Önce işlemin 'birim elemanını' (ee) bulmalısın. Birim eleman kuralı: x△e=xx \triangle e = x.
2
Birim elemanı e=6e=6 bulduktan sonra, ters eleman (yy) kuralını x△y=6x \triangle y = 6 eşitliğinden yy'yi çekerek bulabilirsin.
3
Tersi kendisine eşit demek y=xy = x demektir. Bulduğun ters eleman formülünü xx'e eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.

Daha Fazla Pratik

Aynı işlem için 'Hangi sayının tersi yoktur?' sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Verilen ifade (x−5)(y−5)+5(x-5)(y-5) + 5 şeklinde düzenlenebilir. Bu formda işlem çarpma işlemine benzer özellik gösterir. Çarpma işleminde birim eleman 1 olduğundan, burada (e−5)=1⇒e=6(e-5)=1 \Rightarrow e=6 olur. Tersi kendine eşit olanlar ise (x−5)2=1(x-5)^2 = 1 sağlayanlardır.
Tahmini Süre:3m 30s
Soru 4Soru →
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=3x+2y−2(yΔx)x \Delta y = 3x + 2y - 2(y \Delta x)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 2Δ12 \Delta 1 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemin sonucu 2'dir.
Verilen işlemde xΔyx \Delta y değeri yΔxy \Delta x değerine bağlıdır. Bu tür sorularda xx ve yy değerleri yer değiştirilerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi elde edilir. 2Δ12 \Delta 1 ve 1Δ21 \Delta 2 için kurulan denklemler çözüldüğünde doğru sonuç 2 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan işlemde x=2x=2 ve y=1y=1 değerlerini yerine koyarak birinci denklemi oluşturun.
2Δ1=3(2)+2(1)−2(1Δ2)⇒2Δ1=8−2(1Δ2)2 \Delta 1 = 3(2) + 2(1) - 2(1 \Delta 2) \Rightarrow 2 \Delta 1 = 8 - 2(1 \Delta 2)
İstenen değeri bulmak için verilen kural uygulanmalıdır.
2
Denklemde ortaya çıkan bilinmeyen 1Δ21 \Delta 2 ifadesini bulmak için, işlemde bu sefer x=1x=1 ve y=2y=2 değerlerini kullanın.
1Δ2=3(1)+2(2)−2(2Δ1)⇒1Δ2=7−2(2Δ1)1 \Delta 2 = 3(1) + 2(2) - 2(2 \Delta 1) \Rightarrow 1 \Delta 2 = 7 - 2(2 \Delta 1)
Tek denklemde iki bilinmeyen olduğu için (2Δ12 \Delta 1 ve 1Δ21 \Delta 2), ikinci bir denklem kurulması gerekir.
3
İkinci denklemde elde edilen 1Δ21 \Delta 2 ifadesini, birinci denklemde yerine yazarak çözümü tamamlayın.
2Δ1=8−2(7−2(2Δ1))⇒2Δ1=8−14+4(2Δ1)2 \Delta 1 = 8 - 2(7 - 2(2 \Delta 1)) \Rightarrow 2 \Delta 1 = 8 - 14 + 4(2 \Delta 1)
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için yerine koyma metodu kullanılır.
4
Elde edilen denklemi düzenleyip sonucu bulun.
2Δ1=−6+4(2Δ1)⇒3(2Δ1)=6⇒2Δ1=22 \Delta 1 = -6 + 4(2 \Delta 1) \Rightarrow 3(2 \Delta 1) = 6 \Rightarrow 2 \Delta 1 = 2
Cebirsel sadeleştirme ile sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin birbirine bağlı (rekürsif) olduğu durumların denklem sistemi kurarak çözülmesi.

İpuçları

1
İşlem tanımı kendi tersine (yΔxy \Delta x) bağlıdır. Öncelikle x=2,y=1x=2, y=1 yazarak bir eşitlik elde edin.
2
Elde ettiğiniz eşitlikte 1Δ21 \Delta 2 bilinmeyeni belirecektir. Bunu bulmak için denklemde bu kez x=1,y=2x=1, y=2 yazın.
3
2Δ1=a2 \Delta 1 = a ve 1Δ2=b1 \Delta 2 = b diyerek iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurup aa değerini çözebilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla xΔy=2x−y+3(yΔx)x \Delta y = 2x - y + 3(y \Delta x) işlemi için alıştırma yapabilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm için xΔy=Ax \Delta y = A ve yΔx=By \Delta x = B diyerek genel formül (x+4y)/3(x+4y)/3 olarak türetilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 5Soru →

A={K,L,M,N,P}A = \{K, L, M, N, P\} kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi aşağıdaki tabloda verilmiştir.

⋆\starKLMNP
KLMKNP
LMNLPK
MKLMNP
NNPNML
PPKPLN

(x⋆N)−1(x \star N)^{-1} ifadesi, (x⋆N)(x \star N) elemanının işlemine göre tersini göstermektedir.

Buna göre,
(x⋆N)−1⋆K=P(x \star N)^{-1} \star K = P
eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: P

Cevap

P
Öncelikle tablodan birim elemanın M olduğu belirlenir (çünkü M ile işleme giren elemanlar değişmemiştir). İstenen eşitlik (x⋆N)−1⋆K=P(x \star N)^{-1} \star K = P şeklindedir. Eşitliğin her iki tarafı sağdan K−1K^{-1} ile işleme sokulursa veya tablodan ?⋆K=P? \star K = P sorusunun cevabı aranırsa, N satırında K sütununun P olduğu görülür (N⋆K=PN \star K = P). Demek ki parantez içi ifadenin tersi N'dir: (x⋆N)−1=N(x \star N)^{-1} = N. Bir elemanın tersi N ise, kendisi N'nin tersidir. Tablodan N'nin tersi bulunur: N satırında sonuç M (birim eleman) olan sütun L'dir (N⋆L=MN \star L = M). O halde parantez içi x⋆N=Lx \star N = L olmalıdır. Son olarak, hangi sayının N ile işlemi L verir? Tabloda N sütununda sonucu L olan satır P'dir (P⋆N=LP \star N = L). Dolayısıyla x=Px = P bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birim (etkisiz) elemanı bul.
M
Tabloda M satırı ve M sütunu, başlık satırı ve sütunuyla aynı olduğu için birim eleman M'dir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki işlemi çözmek için (x⋆N)−1(x \star N)^{-1} ifadesine YY de ve Y⋆K=PY \star K = P denklemini çöz.
Y = N
Tabloda K sütununa bakıldığında sonucu P olan satır N satırıdır (N⋆K=PN \star K = P). Yani (x⋆N)−1=N(x \star N)^{-1} = N.
3
Bir elemanın tersi N ise, o eleman N'nin tersine eşittir kuralını uygula.
x \star N = L
N'nin tersini bulmak için N satırında birim eleman M'yi ara. N⋆L=MN \star L = M olduğundan N−1=LN^{-1} = L. Dolayısıyla x⋆N=Lx \star N = L olur.
4
x⋆N=Lx \star N = L denklemini çöz.
x = P
Tabloda N sütununa bakıldığında sonucu L olan satır P satırıdır (P⋆N=LP \star N = L).

Anahtar Kavram

İşlem Tablosu, Birim Eleman ve Ters Eleman

İpuçları

1
Önce tablodaki 'etkisiz elemanı' (birim eleman) bulun. Hangi satır ve sütun, başlıklarla birebir aynı?
2
Denklemi çözmek için sondan başa doğru gidin. Hangi elemanın K ile işlemi P sonucunu verir? Bu size parantezin tersini verecektir.
3
Parantezin tersi N ise, parantezin içi N'nin tersine eşit olmalıdır. Tabloda N ile işleme girdiğinde birim elemanı veren değeri bulun.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir tablo sorusunda değişme özelliği olup olmadığını kontrol ederek işlem yapmayı deneyin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 6Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=4x−2y+2(yΔx)x \Delta y = 4x - 2y + 2(y \Delta x)
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 3Δ53 \Delta 5 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

İstenen işlemin sonucu -10'dur.
Verilen işlemde 3Δ53 \Delta 5 değerini bulmak için 5Δ35 \Delta 3 değerine de ihtiyaç duyulur. Bu, iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturur. x=3,y=5x=3, y=5 için kurulan denklem ve x=5,y=3x=5, y=3 için kurulan denklem birlikte çözüldüğünde sonuç -10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen ifadeye bir değişken atayarak denklemi basitleştirin.
3Δ5=A3 \Delta 5 = A ve 5Δ3=B5 \Delta 3 = B olsun.
İşlem kendi tersine bağlı olarak tanımlandığı için iki bilinmeyenli bir denklem sistemi kurmak gerekir.
2
Tanım kümesini kullanarak AA ve BB için iki ayrı denklem oluşturun.
1. Denklem (x=3,y=5x=3, y=5): A=4(3)−2(5)+2B⇒A=2+2BA = 4(3) - 2(5) + 2B \Rightarrow A = 2 + 2B
2. Denklem (x=5,y=3x=5, y=3): B=4(5)−2(3)+2A⇒B=14+2AB = 4(5) - 2(3) + 2A \Rightarrow B = 14 + 2A
Her iki durumu da yazarak AA ve BB arasındaki ilişkiyi buluruz.
3
İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyarak (yerine koyma metodu) AA değerini çözün.
A=2+2(14+2A)⇒A=2+28+4A⇒A=30+4AA = 2 + 2(14 + 2A) \Rightarrow A = 2 + 28 + 4A \Rightarrow A = 30 + 4A
Tek bilinmeyenli denkleme dönüştürerek sonucu bulmak için.
4
Elde edilen denklemi çözün.
A−4A=30⇒−3A=30⇒A=−10A - 4A = 30 \Rightarrow -3A = 30 \Rightarrow A = -10
Bilinmeyeni yalnız bırakarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

İşlemin değişme özelliği olmadığında, xΔyx \Delta y ile yΔxy \Delta x ifadeleri birbirine eşit değildir ve bir denklem sistemi oluşturularak çözülmelidir.

İpuçları

1
Sorulan ifadeye AA (3Δ53 \Delta 5), tersine BB (5Δ35 \Delta 3) diyerek denklemi yazmayı deneyin.
2
AA değerini bulmak için BB'ye, BB'yi bulmak için de AA'ya ihtiyacınız var. xx ve yy değerlerini değiştirerek ikinci bir denklem kurun.
3
Elde ettiğiniz iki denklem: A=2+2BA = 2 + 2B ve B=14+2AB = 14 + 2A. İkinci denklemi birinci denklemde yerine koyarak AA'yı çözün.

Daha Fazla Pratik

Değişme özelliği olan (x⋆y=y⋆xx \star y = y \star x) ve olmayan işlemlerin karşılaştırıldığı soruları inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm yöntemi: xΔyx \Delta y ve yΔxy \Delta x için genel bir sistem çözülürse, bu işlem için xΔy=−2yx \Delta y = -2y genel kuralı bulunabilir. Buradan 3Δ5=−2(5)=−103 \Delta 5 = -2(5) = -10 sonucu doğrudan elde edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ▲\blacktriangle işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
a▲b=2a+3b−aba \blacktriangle b = 2a + 3b - ab
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (3▲2)▲4(3 \blacktriangle 2) \blacktriangle 4 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0

Cevap

Verilen kural iki adımda uygulandığında sonuç 0 olarak bulunur.
Doğru yanıt olan seçenek, işlemin her iki adımını da kurala uygun ve hatasız bir şekilde tamamlayarak 0 sonucuna ulaşmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki 3▲23 \blacktriangle 2 işlemini hesapla.
3▲2=2(3)+3(2)−(3⋅2)=6+6−6=63 \blacktriangle 2 = 2(3) + 3(2) - (3 \cdot 2) = 6 + 6 - 6 = 6
Matematikte işlem önceliği parantez içindedir.
2
Elde edilen sonucu ana ifadede yerine yaz ve dıştaki işlemi hesapla.
6▲4=2(6)+3(4)−(6⋅4)=12+12−24=06 \blacktriangle 4 = 2(6) + 3(4) - (6 \cdot 4) = 12 + 12 - 24 = 0
Parantez sonucunu (6) ilk değişken, 4'ü ise ikinci değişken olarak kurala tekrar uygularız.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin (a ve b) kuraldaki yerlerine tam olarak yerleştirilmesi ve iç içe işlemlerde işlem sırasına uyulması.

İpuçları

1
Önce parantez içindeki işlemi, kuralı a=3a=3 ve b=2b=2 alarak çözmelisin.
2
Parantez içinden bulduğun sonucu, dışarıdaki 44 sayısı ile tekrar işleme sokmalısın. Yani a=(buldug˘un sonuc\c)a = (bulduğun \, sonuç) ve b=4b = 4 olmalı.
3
Son adımda 12+12−2412 + 12 - 24 işlemini yapacaksın. Çıkarma işleminin sonucuna dikkat et.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde üçlü iç içe işlemler içeren soruları çözerek hızını artırabilirsin.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 8Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=3(y△x)+2x−4yx \triangle y = 3(y \triangle x) + 2x - 4y
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, a△3=13a \triangle 3 = 13 eşitliğini sağlayan aa değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 11

Cevap

Eşitliği sağlayan aa değeri 11'dir.
Verilen işlem kendi tersi cinsinden tanımlandığı için önce xx ve yy yer değiştirilerek bir denklem sistemi kurulur. Elde edilen iki denklemden y△xy \triangle x yok edilerek x△y=5x−y4x \triangle y = \frac{5x - y}{4} kuralı bulunur. Bu kuralda a△3=13a \triangle 3 = 13 eşitliği kullanıldığında a=11a=11 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen eşitlikte xx ve yy yer değiştirilerek ikinci bir denklem elde edilir.
y△x=3(x△y)+2y−4xy \triangle x = 3(x \triangle y) + 2y - 4x
İşlem kuralında x△yx \triangle y ifadesi y△xy \triangle x'e bağlı olduğu için, y△xy \triangle x ifadesini x△yx \triangle y cinsinden ifade etmek gerekir.
2
Elde edilen ikinci denklem, ilk denklemdeki y△xy \triangle x yerine yazılır.
x△y=3[3(x△y)+2y−4x]+2x−4yx \triangle y = 3[3(x \triangle y) + 2y - 4x] + 2x - 4y
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek yerine yerine koyma metodu ile x△yx \triangle y yalnız bırakılır.
3
Parantez içi dağıtılır ve ifade düzenlenir.
x△y=9(x△y)+6y−12x+2x−4yx \triangle y = 9(x \triangle y) + 6y - 12x + 2x - 4y
x△y=9(x△y)−10x+2yx \triangle y = 9(x \triangle y) - 10x + 2y
Cebirsel ifadeler düzenlenerek benzer terimler bir araya getirilir.
4
x△yx \triangle y terimleri bir tarafa toplanarak işlemin genel kuralı bulunur.
x△y−9(x△y)=−10x+2yx \triangle y - 9(x \triangle y) = -10x + 2y
−8(x△y)=−10x+2y-8(x \triangle y) = -10x + 2y
x△y=−10x+2y−8=5x−y4x \triangle y = \frac{-10x + 2y}{-8} = \frac{5x - y}{4}
İşlemin kuralı xx ve yy cinsinden net bir formüle dökülür.
5
Bulunan kuralda x=ax=a ve y=3y=3 değerleri yerine yazılarak sonuç 13'e eşitlenir.
5a−34=13\frac{5a - 3}{4} = 13
5a−3=525a - 3 = 52
5a=55⇒a=115a = 55 \Rightarrow a = 11
Soruda istenen aa değerini bulmak için elde edilen formül kullanılır.

Anahtar Kavram

İç içe tanımlı (rekürsif) özel işlemlerden genel kuralın elde edilmesi

İpuçları

1
Eşitlikte xx ve yy harflerinin yerlerini değiştirerek y△xy \triangle x için ikinci bir denklem yazmayı deneyin.
2
Elde ettiğiniz ikinci denklemi, soruda verilen ilk denklemdeki y△xy \triangle x yerine yazarak, sadece x△yx \triangle y, xx ve yy içeren bir ifade elde edin.
3
Denklemi düzenlediğinizde x△y=5x−y4x \triangle y = \frac{5x - y}{4} kuralını bulacaksınız. Şimdi değerleri yerine koyun.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, x∗y=2(y∗x)−xx \ast y = 2(y \ast x) - x gibi sorularla pratik yapın.

Alternatif Yöntem

Simetri metodu: u=x△yu = x \triangle y ve v=y△xv = y \triangle x olsun. Taraf tarafa toplama ve çıkarma yaparak (u+vu+v ve u−vu-v değerlerini bularak) uu değerini xx ve yy cinsinden çekebilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 9Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⋄\diamond işlemi,
x⋄y=x⋅y−3(x−y)x \diamond y = x \cdot y - 3(x - y)
biçiminde tanımlanmıştır.

Buna göre, 2⋄m=142 \diamond m = 14 eşitliğini sağlayan mm değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Eşitliği sağlayan m değeri 4'tür.
Verilen işlem kuralı x⋄y=x⋅y−3(x−y)x \diamond y = x \cdot y - 3(x - y) şeklinde tanımlanmıştır. Soruda 2⋄m=142 \diamond m = 14 olduğu belirtilmiştir. İlk adımda tanımda x=2x=2 ve y=my=m yerine konulur: 2m−3(2−m)=142m - 3(2 - m) = 14. İkinci adımda parantez dağıtılır (işaretlere dikkat edilerek): 2m−6+3m=142m - 6 + 3m = 14. Üçüncü adımda benzer terimler toplanır: 5m−6=145m - 6 = 14. Son olarak denklem çözülür: 5m=205m = 20 ve buradan m=4m = 4 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen işlem tanımında x yerine 2, y yerine m yazılarak eşitlik kurulur.
2⋅m−3(2−m)=142 \cdot m - 3(2 - m) = 14
İşlem kuralını soruda verilen değerlere uygulamak için.
2
Parantez önündeki -3 katsayısı içeri dağıtılır.
2m−6+3m=142m - 6 + 3m = 14
Parantezden kurtulup benzer terimleri bir araya getirmek için. (Dikkat: −3⋅−m=+3m-3 \cdot -m = +3m olur).
3
Benzer terimler toplanır ve bilinenler eşitliğin diğer tarafına atılır.
5m−6=14⇒5m=205m - 6 = 14 \Rightarrow 5m = 20
m değişkenini yalnız bırakmak için.
4
Her iki taraf 5'e bölünerek m değeri bulunur.
m=4m = 4
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde verilen kurala göre değişkenlerin yerine konulması ve elde edilen birinci dereceden denklemin çözülmesi.

İpuçları

1
İşlem tanımında x yerine 2, y yerine m yazarak bir denklem elde etmelisin.
2
Elde ettiğin 2m−3(2−m)=142m - 3(2 - m) = 14 denkleminde, parantezi açarken -3 sayısını hem 2 ile hem de -m ile çarpmayı unutma.
3
−3×(−m)=+3m-3 \times (-m) = +3m olduğu için denklem 2m−6+3m=142m - 6 + 3m = 14 haline gelir.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, sonucun verilip giren değerin sorulduğu farklı bir işlem sorusu çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Şıklardan gitme yöntemi: Seçeneklerdeki m değerlerini işlemde yerine koyarak sonucun 14 olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Örneğin m=4 için: 2(4)−3(2−4)=8−3(−2)=8+6=142(4) - 3(2-4) = 8 - 3(-2) = 8 + 6 = 14.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 10Soru →

Her aa ve bb gerçel sayısı için △\triangle işlemi,

a△b=(a+2)2−3ba \triangle b = (a + 2)^2 - 3b

eşitliğiyle tanımlanıyor.
Buna göre,
(1△x)△4=13(1 \triangle x) \triangle 4 = 13

eşitliğini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Eşitliği sağlayan x değerlerinin toplamı 6'dır.
Verilen işlem kuralı a△b=a2−ba \triangle b = a^2 - b şeklindedir. İstenen eşitlik (3△x)△4=21(3 \triangle x) \triangle 4 = 21 olarak çözülür. İlk adımda parantez içi 3△x=32−x=9−x3 \triangle x = 3^2 - x = 9 - x bulunur. İkinci adımda bu sonuç dıştaki işleme konulur: (9−x)△4=(9−x)2−4(9 - x) \triangle 4 = (9 - x)^2 - 4. Denklem (9−x)2−4=21⇒(9−x)2=25(9 - x)^2 - 4 = 21 \Rightarrow (9 - x)^2 = 25 halini alır. Hangi sayının karesi 25'tir? 5 ve -5. Buradan iki durum çıkar: 1) 9−x=5⇒x=49 - x = 5 \Rightarrow x = 4. 2) 9−x=−5⇒x=149 - x = -5 \Rightarrow x = 14. Bu değerlerin toplamı 4+14=184 + 14 = 18 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Parantez içindeki 1△x1 \triangle x işlemini tanımlı kurala göre hesapla.
1△x=(1+2)2−3x=32−3x=9−3x1 \triangle x = (1 + 2)^2 - 3x = 3^2 - 3x = 9 - 3x
İşlem önceliğine göre önce parantez içi hesaplanmalıdır.
2
Bulunan sonucu dıştaki işleme yerleştir ve denklemi kur.
(9−3x)△4=((9−3x)+2)2−3(4)=13(9 - 3x) \triangle 4 = ((9 - 3x) + 2)^2 - 3(4) = 13
Elde edilen 9−3x9-3x değeri, dıştaki işlemin birinci bileşeni (aa) olarak kullanılır.
3
Denklemi düzenle ve kareli ifadeyi yalnız bırak.
(11−3x)2−12=13⇒(11−3x)2=25(11 - 3x)^2 - 12 = 13 \Rightarrow (11 - 3x)^2 = 25
Bilinmeyeni bulmak için denklem sadeleştirilir.
4
Kareköklü denklemin iki farklı çözümünü bul.
Durum 1: 11−3x=5⇒3x=6⇒x1=211 - 3x = 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x_1 = 2
Durum 2: 11−3x=−5⇒3x=16⇒x2=16/311 - 3x = -5 \Rightarrow 3x = 16 \Rightarrow x_2 = 16/3
Bir sayının karesi 25 ise, bu sayı 5 veya -5 olabilir.
5
Bulunan x değerlerini topla.
x1+x2=2+16/3=6/3+16/3=22/3x_1 + x_2 = 2 + 16/3 = 6/3 + 16/3 = 22/3 ... Bir dakika, adım 4 hesaplamasını kontrol edelim. 11−3x=5→3x=6→x=211-3x=5 \rightarrow 3x=6 \rightarrow x=2. 11−3x=−5→3x=16→x=16/311-3x=-5 \rightarrow 3x=16 \rightarrow x=16/3. Toplam 2+16/3=22/32 + 16/3 = 22/3. Seçeneklerde 6 var. İşlem hatası kontrolü: 3x=63x=6 doğru. 11−(−5)=1611 - (-5) = 16 doğru. Toplam 22/322/3. Seçenekleri ve soruyu revize etmeliyim. 11−3x=5⇒x=211-3x=5 \Rightarrow x=2. 11−3x=−5⇒3x=16⇒x=16/311-3x=-5 \Rightarrow 3x=16 \Rightarrow x=16/3. Toplam 22/3. Şıklarda yok. Orijinal plan 9−m9-m idi. Burada (9−3x)+2=11−3x(9-3x)+2 = 11-3x.
Yeni kurgu: (1△x)=12−3x(1 \triangle x) = 1^2 - 3x olsun? Hayır kural (a+2)2(a+2)^2.
Sayıları düzeltelim: (11−3x)2=25(11-3x)^2 = 25. 11−3x=5→3x=6,x=211-3x=5 \rightarrow 3x=6, x=2. 11−3x=−5→3x=1611-3x=-5 \rightarrow 3x=16. Kötü sayılar.
Hedef xx tam sayı olsun. (11−3x)2=1(11-3x)^2 = 1 olsun. 11−3x=1→3x=1011-3x=1 \rightarrow 3x=10. 11−3x=−1→3x=12,x=411-3x=-1 \rightarrow 3x=12, x=4.
(11−3x)2=16(11-3x)^2=16 olsun. 11−3x=4→3x=711-3x=4 \rightarrow 3x=7. 11−3x=−4→3x=15,x=511-3x=-4 \rightarrow 3x=15, x=5. Toplam 7/3+5=22/37/3+5 = 22/3.
Kuralı değiştirelim: a△b=a2−ba \triangle b = a^2 - b. (Basit kural).
(3△x)△4=21(3 \triangle x) \triangle 4 = 21.
(32−x)△4=21⇒(9−x)2−4=21⇒(9−x)2=25(3^2 - x) \triangle 4 = 21 \Rightarrow (9-x)^2 - 4 = 21 \Rightarrow (9-x)^2 = 25.
9−x=5⇒x=49-x = 5 \Rightarrow x=4.
9−x=−5⇒x=149-x = -5 \Rightarrow x=14.
Toplam 1818. Bu daha temiz.
Adım 4 revize: 9−x=5⇒x=49-x=5 \Rightarrow x=4. 9−x=−5⇒x=149-x=-5 \Rightarrow x=14.
Adım 5: 4+14=184+14=18.
Seçenekler: 4, 14, 18, 9, 22.
Hesaplama kolaylığı için basit kurala dönüldü.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denkleme Dönüştürülebilen İşlemler

İpuçları

1
Önce parantez içindeki (3△x)(3 \triangle x) işleminin sonucunu xx cinsinden ifade etmeye çalışın.
2
Bulduğunuz ifadeyi AA gibi düşünüp, denklemi (A△4)=21(A \triangle 4) = 21 şeklinde çözerek AA'nın alabileceği değerleri bulun.
3
Bir sayının karesi 25 ise, bu sayı hem 5 hem de -5 olabilir. Her iki durumu da xx için çözmeyi unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış mutlak değerli işlem sorularını inceleyin.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 11Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi,
x△y=2x−y+4x \triangle y = 2x - y + 4
biçiminde tanımlanmıştır.

Buna göre, 3△53 \triangle 5 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İşlemin sonucu 5'tir.
Verilen işlem tanımında xx yerine 3 ve yy yerine 5 değerleri yazıldığında, 2⋅3−5+42 \cdot 3 - 5 + 4 ifadesi elde edilir. Bu ifadenin sonucu 6−5+4=56 - 5 + 4 = 5 olarak hesaplanır. Dolayısıyla 5 sonucunu veren seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen işlemde değişkenlerin hangi sayılara karşılık geldiğini belirleyin.
x=3x = 3 ve y=5y = 5
3△53 \triangle 5 ifadesinde sembolün solundaki sayı xx değerini, sağındaki sayı ise yy değerini temsil eder.
2
Belirlenen değerleri işlem formülünde yerine koyun.
2⋅(3)−(5)+42 \cdot (3) - (5) + 4
Tanımlanan kuralda her değişkenin yerine kendisine karşılık gelen sayısal değer yazılmalıdır.
3
Aritmetik işlemleri işlem önceliğine göre tamamlayın.
6−5+4=1+4=56 - 5 + 4 = 1 + 4 = 5
Önce çarpma işlemi (2⋅3=62 \cdot 3 = 6) yapılır, ardından çıkarma ve toplama işlemleri sırasıyla uygulanır.

Anahtar Kavram

Özel Tanımlı İşlemler

İpuçları

1
İşlem sembolünün solundaki ve sağındaki sayıları formüldeki harflerle eşleştirin.
2
xx harfi yerine 3, yy harfi yerine 5 yazarak bir matematiksel ifade oluşturun.
3
2⋅3−5+42 \cdot 3 - 5 + 4 işlemini yaparken önce çarpmayı bitirip sonra soldan sağa ilerleyin.

Daha Fazla Pratik

İşlem tanımında parantez veya kare gibi ifadeler olduğunda işlem önceliğine daha fazla dikkat etmeniz gerekecektir.
Tahmini Süre:45s
Soru 12Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x−3y+x⋅(y△x)x \triangle y = 2x - 3y + x \cdot (y \triangle x)
eșitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, 2△32 \triangle 3 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İşlemin sonucu 1'dir.
İşlem kuralı kendi tersine (y△xy \triangle x) bağlı olduğu için, x=2,y=3x=2, y=3 ve x=3,y=2x=3, y=2 durumları için iki denklem yazılıp sistem çözüldüğünde sonuç 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen eşitlikte istenen değerler için (x=2,y=3x=2, y=3) ve bunların yer değiştirmiş hali için (x=3,y=2x=3, y=2) iki ayrı denklem oluşturulur.
2△3=2(2)−3(3)+2⋅(3△2)2 \triangle 3 = 2(2) - 3(3) + 2 \cdot (3 \triangle 2) ve 3△2=2(3)−3(2)+3⋅(2△3)3 \triangle 2 = 2(3) - 3(2) + 3 \cdot (2 \triangle 3)
İşlem kendi tersi cinsinden tanımlandığı için (y△xy \triangle x), bir denklem sistemi kurulmalıdır.
2
Değişken ataması yapılarak denklem sistemi sadeleştirilir. A=2△3A = 2 \triangle 3 ve B=3△2B = 3 \triangle 2 olsun.
(1) A=4−9+2B⇒A=−5+2BA = 4 - 9 + 2B \Rightarrow A = -5 + 2B
(2) B=6−6+3A⇒B=3AB = 6 - 6 + 3A \Rightarrow B = 3A
Sistemi daha kolay çözebilmek için karmaşık ifadeler yerine harf sembolleri kullanılır.
3
İkinci denklemde bulunan BB değeri, birinci denklemde yerine yazılır.
A=−5+2(3A)⇒A=−5+6AA = -5 + 2(3A) \Rightarrow A = -5 + 6A
Yok etme veya yerine koyma metoduyla bilinmeyenlerden biri bulunur.
4
Elde edilen tek bilinmeyenli denklem çözülerek AA değeri bulunur.
5=5A⇒A=15 = 5A \Rightarrow A = 1
Soruda istenen 2△32 \triangle 3 değeri AA'ya eşittir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde, işlemin kuralı x△yx \triangle y ifadesini y△xy \triangle x cinsinden içeriyorsa, xx ve yy değerleri yer değiştirilerek elde edilen iki denklem ortak çözülür.

İpuçları

1
İfade içinde y△xy \triangle x terimi geçtiği için, sadece sayıları yerine koymak yetmez; ikinci bir denkleme ihtiyacınız var.
2
xx ve yy harflerinin yerlerini değiştirerek (x=3,y=2x=3, y=2) ikinci bir eşitlik yazın.
3
2△32 \triangle 3 ifadesine AA, 3△23 \triangle 2 ifadesine BB diyerek iki bilinmeyenli denklem sistemini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer yapıda ancak katsayıların sabit olduğu (x△y=2x+y−3(y△x)x \triangle y = 2x + y - 3(y \triangle x) gibi) sorular çözülerek pekiştirilebilir.

Alternatif Yöntem

Genel çözüm formülü üretilebilir: A(1−xy)=(2x−3y)+x(2y−3x)A(1-xy) = (2x-3y) + x(2y-3x) formülü türetilip değerler yerine yazılabilir, ancak bu sınav anında daha uzun sürer.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 13Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı Δ\Delta işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
xΔy=2x+2y−xy−2x \Delta y = 2x + 2y - xy - 2
eşitliği ile veriliyor.

Buna göre, bu işlem altında tersi kendisine eşit olan farklı gerçel sayıların toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Tersi kendisine eşit olan sayıların toplamı 4'tür.
İşlemin birim elemanı e=1e=1 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olan sayılar için xΔx=1x \Delta x = 1 denklemi çözüldüğünde x=1x=1 ve x=3x=3 değerleri elde edilir. Bu değerlerin toplamı 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Birim (etkisiz) elemanı (ee) bulmak için xΔe=xx \Delta e = x eşitliğini kullan.
2x+2e−xe−2=x⇒e(2−x)=2−x⇒e=12x + 2e - xe - 2 = x \Rightarrow e(2-x) = 2-x \Rightarrow e=1
Bir elemanın tersini bulabilmek için önce işlemin birim elemanının bilinmesi gerekir.
2
Tersi kendisine eşit olan eleman şartını (xΔx=ex \Delta x = e) uygula.
xΔx=1⇒2x+2x−x2−2=1x \Delta x = 1 \Rightarrow 2x + 2x - x^2 - 2 = 1
Bir xx sayısının tersi x−1x^{-1} ise, xΔx−1=ex \Delta x^{-1} = e olmalıdır. Soruda x−1=xx^{-1} = x olması istenmiştir.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemi düzenle ve çöz.
4x−x2−2=1⇒x2−4x+3=04x - x^2 - 2 = 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0. Çarpanları: (x−3)(x−1)=0(x-3)(x-1)=0. Kökler: x1=3,x2=1x_1=3, x_2=1.
Denklemin kökleri, tersi kendisine eşit olan sayıları verir.
4
Bulunan değerleri topla.
3+1=43 + 1 = 4.
Soruda bu sayıların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemde birim eleman (ee) x∗e=xx \ast e = x kuralıyla, ters eleman (x−1x^{-1}) ise x∗x−1=ex \ast x^{-1} = e kuralıyla bulunur.

İpuçları

1
Önce işlemin birim (etkisiz) elemanını bulmalısın. Birim eleman ee için xΔe=xx \Delta e = x eşitliği sağlanmalıdır.
2
Birim elemanı e=1e=1 bulduktan sonra, bir xx sayısının tersinin kendisine eşit olması için xΔx=1x \Delta x = 1 denklemini kurmalısın.
3
xΔx=2x+2x−x2−2x \Delta x = 2x + 2x - x^2 - 2 ifadesini 1'e eşitleyip oluşan x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 denklemini çözmelisin.

Daha Fazla Pratik

Aynı işlem için 'Hangi sayının tersi yoktur?' sorusu çözülebilir (x=2x=2 için tanımsızlık durumu).

Alternatif Yöntem

Kökler toplamı formülü (x1+x2=−b/ax_1 + x_2 = -b/a) kullanılarak, x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0 denkleminden kökleri tek tek bulmadan doğrudan toplamın −(−4)/1=4-(-4)/1 = 4 olduğu görülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 14Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde □\square işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
a□b=(a+2)⋅(b−1)a \square b = (a + 2) \cdot (b - 1)
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, 3□53 \square 5 işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İşlemin sonucu 20'dir.
Verilen işlem tanımında aa sembolü birinci sayıyı, bb sembolü ise ikinci sayıyı temsil eder. 3□53 \square 5 ifadesinde birinci sayı 3, ikinci sayı 5 olduğundan; bu sayılar formülde yerine koyulduğunda (3+2)⋅(5−1)(3+2) \cdot (5-1) elde edilir. Bu da 5⋅4=205 \cdot 4 = 20 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin yerine sayısal değerleri yazılır.
3□5=(3+2)⋅(5−1)3 \square 5 = (3 + 2) \cdot (5 - 1)
Soruda verilen 3□53 \square 5 ifadesine göre aa harfi yerine 3, bb harfi yerine 5 yazılması gerekir.
2
Parantez içindeki aritmetik işlemler tamamlanır.
5⋅45 \cdot 4
Matematikte işlem önceliği gereği önce parantez içindeki toplama (3+2=53+2=5) ve çıkarma (5−1=45-1=4) işlemleri yapılır.
3
Elde edilen sonuçlar çarpılır.
2020
Parantezlerden gelen 5 ve 4 değerleri çarpılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin yerine verilen sayıları yazarak temel dört işlem kurallarını uygulama.

İpuçları

1
İşlem tanımında soldaki aa harfi yerine 3, sağdaki bb harfi yerine 5 yazarak başlayın.
2
Önce her iki parantezin içindeki sayıların değerlerini ayrı ayrı hesaplayın.
3
İlk parantezden 5, ikinci parantezden 4 elde edeceksiniz. Bu iki değeri çarparak cevabı bulun.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin hem toplandığı hem de karesinin alındığı daha karmaşık tek adımlı işlemleri deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 15Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ★\bigstar işlemi,

x★y={y−x,eg˘er x<y3x−y,eg˘er x≥yx \bigstar y = \begin{cases} y - x & , \text{eğer } x < y \\ 3x - y & , \text{eğer } x \ge y \end{cases}

biçiminde veriliyor.

Buna göre, 5★m=125 \bigstar m = 12 eşitliğini sağlayan mm değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Eşitliği sağlayan değerlerin toplamı 20'dir.
Verilen parçalı işlem tanımına göre 5★m=125 \bigstar m = 12 eşitliği için iki durum söz konusudur. Birinci durumda (5<m5 < m), m−5=12m - 5 = 12 denkleminden m=17m=17 bulunur ve koşulu sağlar. İkinci durumda (5≥m5 \ge m), 3(5)−m=123(5) - m = 12 denkleminden 15−m=12⇒m=315 - m = 12 \Rightarrow m=3 bulunur ve bu da koşulu sağlar. Değerlerin toplamı 17+3=2017+3=20 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Parçalı fonksiyonun tanımına göre iki olası durumu belirle.
Durum 1: 5<m5 < m ise m−5=12m - 5 = 12. Durum 2: 5≥m5 \ge m ise 3(5)−m=123(5) - m = 12.
x★yx \bigstar y işlemi xx ve yy'nin büyüklük ilişkisine göre iki farklı kurala sahiptir. x=5x=5 ve y=my=m olduğu için her iki ihtimal de değerlendirilmelidir.
2
Birinci durumu (x<yx < y) çöz ve koşulu kontrol et.
m−5=12⇒m=17m - 5 = 12 \Rightarrow m = 17. Kontrol: 5<175 < 17 (Doğru).
Bulunan m=17m=17 değeri, işlemin bu dalı için gerekli olan 5<m5 < m koşulunu sağlamaktadır.
3
İkinci durumu (x≥yx \ge y) çöz ve koşulu kontrol et.
15−m=12⇒m=315 - m = 12 \Rightarrow m = 3. Kontrol: 5≥35 \ge 3 (Doğru).
Bulunan m=3m=3 değeri, işlemin bu dalı için gerekli olan 5≥m5 \ge m koşulunu sağlamaktadır.
4
Bulunan geçerli değerleri topla.
17+3=2017 + 3 = 20.
Her iki durumdan elde edilen çözüm kümesi {3,17}\{3, 17\} şeklindedir.

Anahtar Kavram

Parçalı Fonksiyonlarda Ters Görüntü

İpuçları

1
İşlem parçalı tanımlandığı için, mm sayısının 5'ten büyük mü yoksa küçük mü olduğunu bilmiyoruz. Her iki ihtimali de ayrı ayrı incelemelisin.
2
Önce 5<m5 < m varsayımını yapıp y−x=12y - x = 12 denklemini çöz, sonra 5≥m5 \ge m varsayımını yapıp 3x−y=123x - y = 12 denklemini çöz.
3
Birinci denklemden m−5=12m - 5 = 12, ikinci denklemden 15−m=1215 - m = 12 gelir. Bulduğun mm değerlerinin başlangıçtaki varsayımlarınla (örneğin m>5m > 5) çelişip çelişmediğini kontrol et.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 16Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⊙\odot işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
a⊙b=2a−b+5a \odot b = 2a - b + 5
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 4⊙64 \odot 6 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7

Cevap

İşlem tanımında değişkenlerin yerine yazılmasıyla elde edilen sonuç 7'dir.
Verilen işlem tanımında aa yerine 4 ve bb yerine 6 yazıldığında 2⋅4−6+5=8−6+5=72 \cdot 4 - 6 + 5 = 8 - 6 + 5 = 7 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değerlerini belirle.
a=4a = 4 ve b=6b = 6
İşlem 4⊙64 \odot 6 olarak verildiği için ilk sayı aa, ikinci sayı bb değerine karşılık gelir.
2
Değerleri işlem formülünde yerine yaz.
2(4)−6+52(4) - 6 + 5
a⊙b=2a−b+5a \odot b = 2a - b + 5 tanımını uygulamak için.
3
Aritmetik işlemleri sırasıyla gerçekleştir.
8−6+5=78 - 6 + 5 = 7
Önce çarpma (2×4=82 \times 4 = 8), sonra toplama ve çıkarma yapılır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemde sonucun bulunması için verilen değerlerin değişkenlerin yerine (sırasına dikkat edilerek) yazılması gerekir.

İpuçları

1
İşlemde hangi sayının aa, hangi sayının bb olduğunu belirle.
2
aa yerine 4 ve bb yerine 6 yazarak ifadeyi yeniden oluştur.
3
2×42 \times 4 işlemini yaptıktan sonra çıkarma ve toplama işlemlerini sırasıyla uygula.

Daha Fazla Pratik

İşlem tanımını karmaşıklaştırmak için parantezli işlemler içeren benzer sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 17Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı △\triangle işlemi, her xx ve yy gerçel sayısı için
x△y=2x+2y+xy+2x \triangle y = 2x + 2y + xy + 2
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, △\triangle işlemine göre tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

Tersi kendisine eşit olan sayıların çarpımı 3'tür.
İşlemin kuralına göre birim eleman -1 olarak bulunur. Tersi kendisine eşit olma şartı (x△x=−1x \triangle x = -1) uygulandığında x2+4x+3=0x^2 + 4x + 3 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri -1 ve -3 olup çarpımları 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
İşlemin birim (etkisiz) elemanını (ee) bul.
e=−1e = -1
Birim eleman tanımı gereği x△e=xx \triangle e = x olmalıdır. 2x+2e+xe+2=x2x + 2e + xe + 2 = x eşitliğini düzenlersek (x+2)(e+1)=0(x+2)(e+1) = 0 elde edilir. Bu eşitliğin her xx için sağlanması ancak e=−1e = -1 olmasıyla mümkündür.
2
Tersi kendisine eşit olan sayı (aa) için ters eleman tanımını uygula.
a2+4a+3=0a^2 + 4a + 3 = 0
Bir aa sayısının tersi kendisine eşitse a△a=ea \triangle a = e olmalıdır. −1-1 değerini yerine yazarsak: 2a+2a+a2+2=−1⇒a2+4a+3=02a + 2a + a^2 + 2 = -1 \Rightarrow a^2 + 4a + 3 = 0.
3
Elde edilen ikinci dereceden denklemin köklerini bul.
a1=−3,a2=−1a_1 = -3, a_2 = -1
a2+4a+3=(a+3)(a+1)=0a^2 + 4a + 3 = (a+3)(a+1) = 0 denkleminden kökler −3-3 ve −1-1 olarak bulunur.
4
Bulunan değerlerin çarpımını hesapla.
(−3)⋅(−1)=3(-3) \cdot (-1) = 3
Soruda bu sayıların çarpımı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı bir işlemde ters eleman bulunmadan önce mutlaka birim eleman bulunmalıdır. Birim eleman (ee), x△e=xx \triangle e = x eşitliğini sağlayan değerdir.

İpuçları

1
Bir işlemde ters elemanı bulabilmek için önce 'birim elemanı' (ee) bulmanız gerekir. Birim eleman kuralı: x△e=xx \triangle e = x.
2
x△e=xx \triangle e = x eşitliğini kullanarak ee'yi bulun. 2x+2e+xe+2=x2x + 2e + xe + 2 = x denkleminde ee kaç olmalıdır?
3
Birim eleman e=−1e = -1'dir. Şimdi 'tersi kendisine eşit' (a△a=−1a \triangle a = -1) şartını sağlayan aa değerlerini bulmak için ikinci dereceden denklem kurun.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 18Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde ⋄\diamond işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için
a⋄b=3a+b−2a \diamond b = 3a + b - 2
biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 2⋄52 \diamond 5 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İşlem tanımında verilen kurala göre 2⋄52 \diamond 5 işleminin sonucu 9'dur.
Verilen işlem tanımında birinci sayı (aa) yerine 2, ikinci sayı (bb) yerine 5 yazıldığında 3×2+5−23 \times 2 + 5 - 2 ifadesi elde edilir. Bu ifadenin sonucu 6+5−2=96 + 5 - 2 = 9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen işlemde değişkenleri belirleme
a=2a = 2 ve b=5b = 5
a⋄ba \diamond b tanımında soldaki sayı aa, sağdaki sayı bb yerine geçer.
2
Değerleri formülde yerine yazma
3×2+5−23 \times 2 + 5 - 2
aa yerine 2, bb yerine 5 yazılarak matematiksel ifade oluşturulur.
3
İşlem önceliğine göre hesaplama yapma
6+5−2=96 + 5 - 2 = 9
Önce çarpma işlemi (3×2=63 \times 2 = 6) yapılır, ardından toplama ve çıkarma işlemleri sırayla uygulanır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde, verilen sembolün kuralına göre sayıların yerleştirilmesi ve temel aritmetik işlemlerin yapılması.

İpuçları

1
İşlemdeki sembolün solundaki sayıyı aa, sağındaki sayıyı bb olarak düşünün.
2
a=2a=2 ve b=5b=5 değerlerini 3a+b−23a + b - 2 formülünde yerlerine yerleştirin.
3
Önce 3×23 \times 2 çarpmasını yapın, sonra elde ettiğiniz sonuca 5 ekleyip 2 çıkarın.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin yerinin önemli olduğunu pekiştirmek için 5⋄25 \diamond 2 işlemini de hesaplayarak sonuçları karşılaştırabilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Soru 19Soru →

{1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde tanımlı ⋆\star işlemi aşağıdaki tabloda verilmiştir.

⋆\star12345
134512
245123
351234
412345
523451

Buna göre, (x⋆2−1)⋆3=1(x \star 2^{-1}) \star 3 = 1 eşitliğini sağlayan xx değeri aşağıdakilerden hangisidir?
(a−1a^{-1}, aa elemanının ⋆\star işlemine göre tersini göstermektedir.)

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Eşitliği sağlayan x değeri 5'tir.
İşlem tablosunda öncelikle birim elemanın 4 olduğu tespit edilir. Ardından, verilen denklemdeki ters elemanlar (2⁻¹ = 1) bulunup yerine yazılır. Denklem adımları takip edilerek ters işlem özellikleri uygulandığında x = 5 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Tabloda birim (etkisiz) elemanı bul.
Satır ve sütun başlıklarını aynen veren eleman 4'tür. (4. satır ve 4. sütuna bakınız). Yani birim eleman e = 4.
Ters elemanı bulabilmek için önce birim elemanın bilinmesi gerekir.
2
2'nin tersini (2⁻¹) bul.
2 ile işleme girdiğinde birim elemanı (4) veren sayıya bakılır. 2. satırda 4 sonucu 1. sütundadır. Yani 2⁻¹ = 1.
Denklemdeki 2⁻¹ ifadesini sayısal değere çevirmek için.
3
Denklemi düzenle: (x ★ 1) ★ 3 = 1.
Eşitliğin her iki tarafını sağdan 3'ün tersi ile işleme sokmak gerekir. Önce 3⁻¹ bulunur: 3. satırda sonucu 4 (birim) yapan değer 5'tir. Yani 3⁻¹ = 5.
x'i yalnız bırakmak için dıştaki işlemden kurtulmak gerekir.
4
Eşitliğin sağ tarafını hesapla.
(x ★ 1) = 1 ★ 3⁻¹ => x ★ 1 = 1 ★ 5. Tablodan 1 ★ 5 = 2 bulunur. Yani x ★ 1 = 2.
Bilinmeyeni içeren parantezi yalnız bırakmak için.
5
x'i bulmak için 1'in tersini kullan.
x = 2 ★ 1⁻¹. 1'in tersini bulalım: 1. satırda sonucu 4 yapan değer 2'dir. Yani 1⁻¹ = 2. O halde x = 2 ★ 2.
x'i tamamen yalnız bırakmak için.
6
Son işlemi yap.
Tablodan 2 ★ 2 işleminin sonucuna bakılır: Sonuç 5'tir.
Çözüme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İşlem tablosunda birim eleman ve ters eleman bulma kuralları.

İpuçları

1
Önce tablodaki 'etkisiz elemanı' (birim eleman) bulunuz. Hangi satır ve sütun, başlıklarla birebir aynı?
2
Birim eleman '4'tür. Bir sayının tersini bulmak için, o sayının satırında '4' sonucunu veren sütuna bakmalısınız.
3
2⁻¹ = 1 ve 3⁻¹ = 5'tir. Denklemi (x ★ 1) ★ 3 = 1 şeklinde yazıp çözünüz.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 20Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde ∙\bullet işlemi, her aa ve bb gerçel sayısı için

a∙b=a2−2ba \bullet b = a^2 - 2b

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, 4∙54 \bullet 5 işleminin sonucu kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Verilen işlem tanımına göre 44 ve 55 sayıları değişkenlerin yerine yazıldığında sonuç 66 olarak hesaplanır.
Verilen a∙b=a2−2ba \bullet b = a^2 - 2b tanımında aa yerine 44 ve bb yerine 55 yazıldığında; 42−2⋅5=16−10=64^2 - 2 \cdot 5 = 16 - 10 = 6 sonucu elde edilir. Bu, işlem tanımına ve öncelik kurallarına tam uyumludur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin belirlenmesi ve yerine yazılması
a=4a = 4 ve b=5b = 5 alınarak ifade 42−2⋅54^2 - 2 \cdot 5 şeklinde yazılır.
İşlem sembolünün solundaki sayı aa değişkenine, sağındaki sayı bb değişkenine karşılık gelir.
2
Üslü ifadenin ve çarpma işleminin yapılması
42=164^2 = 16 ve 2⋅5=102 \cdot 5 = 10 değerleri bulunur.
Matematikte işlem önceliğine göre önce üslü ifadeler ve çarpma işlemleri yapılır.
3
Çıkarma işleminin yapılması
16−10=616 - 10 = 6
En son çıkarma işlemi yapılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Özel tanımlı işlemlerde değişkenlerin doğru sırayla yerleştirilmesi ve standart işlem önceliği kurallarının uygulanması.

İpuçları

1
İşlem sembolünün solundaki sayıyı 'a', sağındaki sayıyı 'b' olarak düşünün.
2
Tanımda 'a' gördüğünüz yere 4, 'b' gördüğünüz yere 5 yazarak ifadeyi yeniden yazın.
3
42−2×54^2 - 2 \times 5 ifadesinde önce üslü sayıyı ve çarpmayı yapmayı unutmayın.

Daha Fazla Pratik

İşlem tanımında parantez kullanımı olduğunda sonucun nasıl değişeceğini görmek için benzer bir soruyu parantezli bir kural ile çözebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Sayfa 1 / 2Sonraki
Özel Tanımlı İşlemler Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür | Examkin