x bir gerçel sayı ve x^2 - 8x + 13 = 0 olduğuna göre, (x-2)^2 + \frac{1}{(x-2)^2} ifadesin… — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür

x

bir gerçel sayı ve

x^2 - 8x + 13 = 0

olduğuna göre,

(x-2)^2 + \frac{1}{(x-2)^2}

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin değeri 14 olarak bulunur.

Verilen denklem

(x-2)^2 - 4(x-2) + 1 = 0

şeklinde düzenlenip her terim

(x-2)

'ye bölündüğünde

(x-2) + 1/(x-2) = 4

eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin karesi alındığında

(x-2)^2 + 2 + 1/(x-2)^2 = 16

bağıntısına ulaşılır ve buradan istenen değer 14 olarak hesaplanır.

x^2 - 8x + 13 = 0

denklemini

(x-2)

terimine göre düzenleyin.

(x-2)^2 - 4(x-2) + 1 = 0

Soruda sorulan ifadenin tabanı

(x-2)

olduğu için denklem bu terim cinsinden yazılmalıdır.

Elde edilen denklemin her terimini

(x-2)

ile bölün.

(x-2) - 4 + \frac{1}{x-2} = 0 \Rightarrow (x-2) + \frac{1}{x-2} = 4

İstenen kareli ifadeye ulaşmak için toplam biçimindeki temel özdeşlik yapısını kurmak gerekir.

Her iki yanın karesini alın.

((x-2) + \frac{1}{x-2})^2 = 4^2 \Rightarrow (x-2)^2 + 2 + \frac{1}{(x-2)^2} = 16

Tam kare özdeşliği

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

kuralını uygulamak için karesi alınır.

Sabit terimi karşıya atarak sonucu bulun.

(x-2)^2 + \frac{1}{(x-2)^2} = 16 - 2 = 14

Denklemin sol tarafında yalnızca istenen ifadeyi bırakmak için çarpım teriminden gelen 2 sayısı karşıya geçirilir.

İkinci dereceden denklemleri değişken değiştirme ve tam kare özdeşliği yardımıyla rasyonel ifadelere dönüştürme.

Değişkeni kaydırılmış benzer rasyonel özdeşlik soruları çözerek terim benzetme becerinizi geliştirebilirsiniz.

Denklemin kökleri

x = 4 \pm \sqrt{3}

olarak bulunabilir. Bu köklerden biri yerine yazıldığında

(4 + \sqrt{3} - 2) = 2 + \sqrt{3}

elde edilir.

(2 + \sqrt{3})^2 + 1/(2 + \sqrt{3})^2

ifadesi hesaplandığında

7 + 4\sqrt{3} + 7 - 4\sqrt{3} = 14

sonucuna yine ulaşılacaktır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru