Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzdeşlikler
a,ba, b ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,
a+b+c=12a + b + c = 12
ab+ac+bc=31ab + ac + bc = 31
olduğuna göre, a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 toplamının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    144
  2. B
    113
  3. 82Cevap
  4. D
    206
  5. E
    76

Cevap

İstenen kareler toplamının değeri 82'dir.
Verilen a+b+c=12a+b+c=12 ifadesinin her iki yanının karesi alındığında a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=144a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc) = 144 elde edilir. Soruda verilen ab+ac+bc=31ab+ac+bc=31 değeri yerine yazıldığında a2+b2+c2+62=144a^2+b^2+c^2+62=144 denklemi kurulur. Buradan a2+b2+c2=144−62=82a^2+b^2+c^2 = 144-62=82 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üç terimli toplamın karesi özdeşliğini yazma
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
Verilen toplam ve ikili çarpım değerlerini kullanarak kareler toplamına ulaşmak için bu temel özdeşlik kullanılır.
2
Verilen değerleri özdeşlikte yerine koyma
122=a2+b2+c2+2(31)12^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(31)
a+b+c=12a+b+c = 12 ve ab+ac+bc=31ab+ac+bc = 31 değerleri formüle yerleştirilir.
3
Karesel ve çarpımsal işlemleri tamamlama
144=a2+b2+c2+62144 = a^2 + b^2 + c^2 + 62
122=14412^2 = 144 ve 2×31=622 \times 31 = 62 hesaplamaları yapılır.
4
İstenen ifadeyi yalnız bırakma
a2+b2+c2=144−62=82a^2 + b^2 + c^2 = 144 - 62 = 82
6262 sayısı eşitliğin sol tarafına çıkarma işlemi olarak geçirilerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Üç Terimli Toplamın Karesi Özdeşliği

Alternatif Yöntem

Değer verme yöntemi bu tarz sorularda bazen işe yarasa da, gerçel sayı şartı olduğu için tam sayı değerleri bulmak zor olabilir. En güvenli ve hızlı yol özdeşlik formülünü uygulamaktır.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru