Examkin

Soru

Zorluk: ZorÖzdeşlikler
xx ve yy birer gerçel sayı olmak üzere,
x2−xy+y2=13x^2 - xy + y^2 = 13
x4+x2y2+y4=273x^4 + x^2y^2 + y^4 = 273
eşitlikleri veriliyor. Buna göre, x2+y2x^2 + y^2 ifadesinin değeri kaçtır?
  1. A
    13
  2. 17Cevap
  3. C
    21
  4. D
    34
  5. E
    4

Cevap

Verilen eşitlikler ve özdeşlikler kullanılarak x2+y2x^2 + y^2 değeri 17 olarak bulunur.
Verilen x4+x2y2+y4x^4 + x^2y^2 + y^4 ifadesi (x2−xy+y2)(x2+xy+y2)(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. 273 sayısı 13'e bölündüğünde x2+xy+y2=21x^2 + xy + y^2 = 21 değeri elde edilir. Bu eşitlik ile x2−xy+y2=13x^2 - xy + y^2 = 13 eşitliği toplandığında −xy-xy ve +xy+xy birbirini yok eder, geriye 2x2+2y2=342x^2 + 2y^2 = 34 kalır. Sonuç olarak x2+y2=17x^2 + y^2 = 17 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x4+x2y2+y4x^4 + x^2y^2 + y^4 ifadesini özdeşlik yardımıyla çarpanlarına ayırın.
x4+x2y2+y4=(x2−xy+y2)(x2+xy+y2)x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) olduğu bilinmektedir.
Dördüncü dereceden üç terimli ifadelerin çarpanlara ayrılma kuralını uygulamak.
2
Verilen sayısal değerleri yerine koyarak x2+xy+y2x^2 + xy + y^2 ifadesinin değerini hesaplayın.
273=13⋅(x2+xy+y2)⇒x2+xy+y2=21273 = 13 \cdot (x^2 + xy + y^2) \Rightarrow x^2 + xy + y^2 = 21 bulunur.
Bilinmeyen çarpanın değerini bulmak.
3
Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayarak x2+y2x^2 + y^2 toplamına ulaşın.
x2−xy+y2=13x^2 - xy + y^2 = 13 ve x2+xy+y2=21x^2 + xy + y^2 = 21 denklemleri toplandığında 2(x2+y2)=342(x^2 + y^2) = 34 ve buradan x2+y2=17x^2 + y^2 = 17 elde edilir.
xyxy terimlerini yok ederek istenen toplamı yalnız bırakmak.

Anahtar Kavram

Üç terimli dördüncü derece özdeşliklerin (a4+a2b2+b4)(a^4+a^2b^2+b^4) çarpanlara ayrılması ve denklem sistemleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeşlikler

Bu konudan daha fazla soru