Examkin

Mutlak Değer

43 soru

Soru 41Soru →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣x2−9∣+∣x2−4x+3∣=2∣x−3∣ |x^2 - 9| + |x^2 - 4x + 3| = 2|x - 3|
eşitliğini sağlayan xx değerlerinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: \{3\}

Cevap

Denklemin çözüm kümesi sadece {3}\{3\} elemanından oluşur.
Verilen denklemde her terimde ortak olan ∣x−3∣|x-3| çarpanı paranteze alındığında, denklem ∣x−3∣(∣x+3∣+∣x−1∣−2)=0|x-3|(|x+3| + |x-1| - 2) = 0 haline gelir. Buradan birinci kök x=3x=3 bulunur. İkinci kısım olan ∣x+3∣+∣x−1∣=2|x+3| + |x-1| = 2 denklemi ise, sayı doğrusunda −3-3 ve 11 noktalarına olan uzaklıklar toplamının 2 olmasını ister. Ancak bu iki nokta arasındaki mesafe 4 birim olduğundan, uzaklıklar toplamı en az 4 olabilir. Bu nedenle ikinci kısımdan kök gelmez. Tek çözüm x=3x=3 tür.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer içindeki ifadeleri çarpanlarına ayır.
∣(x−3)(x+3)∣+∣(x−3)(x−1)∣=2∣x−3∣ |(x-3)(x+3)| + |(x-3)(x-1)| = 2|x-3|
Ortak çarpanı görmek için ifadeleri düzenlemek gerekir.
2
Mutlak değerin çarpım kuralını kullanarak ∣x−3∣|x-3| ifadesini ortak çarpan parantezine al.
∣x−3∣⋅[∣x+3∣+∣x−1∣−2]=0 |x-3| \cdot [ |x+3| + |x-1| - 2 ] = 0
∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b| özelliği kullanılır ve denklem sıfıra eşitlenir.
3
Birinci çarpanı sıfıra eşitleyerek ilk kökü bul.
∣x−3∣=0  ⟹  x=3|x-3| = 0 \implies x = 3
Çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az biri sıfır olmalıdır.
4
İkinci çarpanın sıfır olma durumunu (∣x+3∣+∣x−1∣=2|x+3| + |x-1| = 2) incele.
Çözüm yok (Boş küme).
∣x+3∣+∣x−1∣|x+3| + |x-1| ifadesi, sayı doğrusunda xx noktasının −3-3 ve 11 noktalarına olan uzaklıkları toplamıdır. Bu iki nokta arası mesafe 1−(−3)=41 - (-3) = 4 birimdir. Uzaklıklar toplamı en az 4 olabilir, asla 2 olamaz.
5
Bulunan geçerli kökleri birleştir.
Çözüm Kümesi = {3}\{3\}
Sadece birinci durumdan kök gelmektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin uzaklık yorumu ve çarpanlara ayırma.

İpuçları

1
Denklemdeki mutlak değer içlerini çarpanlarına ayırarak ortak bir terim olup olmadığını kontrol ediniz.
2
∣x−3∣|x-3| ifadesi her terimde ortaktır. Bu ifadeyi paranteze alarak denklemi iki çarpanın çarpımı şeklinde yazınız.
3
Çarpanlardan biri ∣x+3∣+∣x−1∣=2|x+3| + |x-1| = 2 olur. Sayı doğrusunda −3-3 ve 11 noktaları arasındaki mesafe 4 birimdir. Uzaklıklar toplamı 4'ten küçük olabilir mi?

Daha Fazla Pratik

Uzaklıklar toplamının minimum değerini soran bir problem çözerek bu kavramı pekiştirin.

Alternatif Yöntem

x değerini kritik noktalara (-3, 1, 3) göre bölgelere ayırarak (Tablo Yöntemi) çözebilirsiniz, ancak bu yöntem çok daha uzun sürecektir.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 42Soru →

x<y<0x < y < 0 olmak üzere,

∣x+y∣−∣x−y∣∣y∣\frac{|x + y| - |x - y|}{|y|}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

İşlemler sonucunda ifade 2 olarak bulunur.
Verilen x<y<0x < y < 0 eşitsizliğine göre mutlak değer içlerinin işaretleri belirlenir. x+yx+y negatiftir, dışarı −x−y-x-y olarak çıkar. x−yx-y negatiftir (küçükten büyük çıktığı için), dışarı −x+y-x+y olarak çıkar. yy negatiftir, dışarı −y-y olarak çıkar. Bu değerler yerine konulup işlem yapıldığında sonuç 2 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirle.
x<0x < 0 ve y<0y < 0 olduğu için x+y<0x+y < 0. x<yx < y olduğu için x−y<0x-y < 0. y<0y < 0.
Mutlak değerden çıkarma işlemi yapabilmek için içerideki ifadenin pozitif mi negatif mi olduğunu bilmemiz gerekir.
2
İfadeleri mutlak değer dışına çıkar.
∣x+y∣=−(x+y)=−x−y|x+y| = -(x+y) = -x-y
∣x−y∣=−(x−y)=−x+y|x-y| = -(x-y) = -x+y
∣y∣=−y|y| = -y
Negatif ifadeler mutlak değer dışına çıkarken önüne eksi (-) işareti alır.
3
Elde edilen ifadeleri kesirde yerine koy ve işlemi düzenle.
(−x−y)−(−x+y)−y=−x−y+x−y−y=−2y−y\frac{(-x-y) - (-x+y)}{-y} = \frac{-x-y+x-y}{-y} = \frac{-2y}{-y}
Parantezleri açarken aradaki eksi işaretini dağıtmayı unutmamak gerekir.
4
Sadeleştirme işlemini yap.
−2y−y=2\frac{-2y}{-y} = 2
Pay ve paydadaki aynı terimler sadeleşir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin tanımı gereği, ∣a∣=−a|a| = -a (eğer a<0a < 0) kuralının doğru uygulanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 43Soru →
x<y<0x < y < 0 olmak üzere,
x2−∣x−y∣+∣2y∣ \sqrt{x^{2}} - |x - y| + |2y|
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3y

Cevap

İfadenin sadeleşmiş biçimi -3y şeklindedir.
Verilen x<y<0x < y < 0 koşuluna göre x2\sqrt{x^2} ifadesi −x-x, ∣x−y∣|x-y| ifadesi y−xy-x ve ∣2y∣|2y| ifadesi −2y-2y olarak dışarı çıkar. Bu değerler toplandığında −x−(y−x)−2y-x - (y-x) - 2y işlemi yapılarak −3y-3y sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kareköklü ifadenin mutlak değer özelliğini uygulama
x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x| ve x<0x < 0 olduğu için −x-x
Bir sayının karesinin karekökü o sayının mutlak değerine eşittir.
2
Birinci mutlak değerli ifadenin işaretini belirleme
x<y⇒x−y<0x < y \Rightarrow x - y < 0 olduğu için ∣x−y∣=−(x−y)=y−x|x - y| = -(x - y) = y - x
Mutlak değerin içi negatifse ifade işaret değiştirerek dışarı çıkar.
3
İkinci mutlak değerli ifadenin işaretini belirleme
y<0⇒2y<0y < 0 \Rightarrow 2y < 0 olduğu için ∣2y∣=−2y|2y| = -2y
Negatif bir sayının mutlak değeri kendisinin eksi ile çarpılmış halidir.
4
Bulunan değerleri ana ifadede yerine yazma ve sadeleştirme
−x−(y−x)+(−2y)=−x−y+x−2y=−3y-x - (y - x) + (-2y) = -x - y + x - 2y = -3y
Toplama ve çıkarma işlemleri yapılarak ifade en sade haline getirilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değer içerisindeki ifadenin işaretine göre dışarı çıkarılması ve kareköklü ifadelerin mutlak değer ile ilişkisi.

İpuçları

1
Karekök içindeki çift dereceli üslerin mutlak değer olarak çıktığını unutmayın.
2
Mutlak değerin içindeki ifadenin işaretini belirlemek için verilen eşitsizliği kullanın.
3
x<yx < y ise x−yx - y ifadesi negatiftir; bu yüzden dışarı çıkarken işaret değiştirir.

Daha Fazla Pratik

Mutlak değerli eşitsizlikler ve aralık belirleme sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Koşula uygun değerler vererek (örneğin x = -2, y = -1) sonucu hesaplayıp seçeneklerdeki ifadelerle karşılaştırabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 3 / 3
Mutlak Değer Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 3 | Examkin