Examkin

Çember ve Daire

42 soru

Soru 41Soru →

Merkezleri çakışık (eş merkezli) iki daireden oluşan bir sistemde, iki daire arasında kalan halkanın alanı, içteki küçük dairenin alanına eşittir. Büyük dairenin, küçük daireye teğet olan kirişinin uzunluğu 1212 cm olduğuna göre, küçük dairenin yarıçapı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 66

Cevap

Küçük dairenin yarıçapı 6 cm'dir.
Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi ikiye böler (6 cm). Pisagor teoreminden R2−r2=36R^2 - r^2 = 36 bulunur. Soruda halka alanının (π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2)) iç daire alanına (πr2\pi r^2) eşit olduğu verilmiştir. Buradan 36π=πr236\pi = \pi r^2 eşitliği ile r=6r=6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen geometrik yapıyı ve değişkenleri tanımla.
Büyük dairenin yarıçapı RR, küçük dairenin yarıçapı rr olsun. Kiriş uzunluğu 1212 cm verildiğinden, teğet noktasında kiriş iki eşit parçaya bölünür: 66 cm ve 66 cm.
Merkezden teğet noktasına çizilen yarıçap, kirişi dik ortalar.
2
Pisagor bağıntısını kullanarak RR ve rr arasındaki ilişkiyi kur.
Oluşan dik üçgende hipotenüs RR, dik kenarlar rr ve 66 cm'dir. Bağıntı: R2=r2+62⇒R2−r2=36R^2 = r^2 + 6^2 \Rightarrow R^2 - r^2 = 36.
Halka alanı formülü için R2−r2R^2 - r^2 ifadesine ihtiyaç vardır.
3
Problemde verilen alan eşitliğini matematiksel denkleme dök.
Halka Alanı = Küçük Daire Alanı ⇒π(R2−r2)=πr2\Rightarrow \pi(R^2 - r^2) = \pi r^2.
Soruda verilen temel koşul budur.
4
Bulunan eşitlikleri birleştirerek rr değerini hesapla.
İkinci denklemde R2−r2R^2 - r^2 yerine 36 yazılır: 36π=πr2⇒r2=36⇒r=636\pi = \pi r^2 \Rightarrow r^2 = 36 \Rightarrow r = 6 cm.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Halka Alanı ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
Şekli çiziniz: İç içe iki çember ve büyük çemberin kirişi küçük çembere teğet. Merkez ile teğet noktasını birleştiren yarıçapı çizin.
2
Merkezden kirişe indirilen dikme, kirişi iki eşit parçaya böler. Burada oluşan dik üçgende Pisagor bağıntısını yazın (RR, rr ve 66 arasında).
3
Halka alanı π(R2−r2)\pi(R^2 - r^2) formülü ile bulunur. Bu ifadeyi Pisagor'dan bulduğunuz değerle (3636) eşleştirip, soruda verilen 'halka alanı = iç daire alanı' eşitliğinde kullanın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruda, halkanın alanı verilip kiriş uzunluğunun sorulduğu durumu inceleyiniz.

Alternatif Yöntem

Pratik Kural: Bir halkada, iç çembere teğet olan kirişin uzunluğu 2x2x ise, halkanın alanı yarıçapı xx olan bir dairenin alanına eşittir (πx2\pi x^2). Burada 2x=12⇒x=62x=12 \Rightarrow x=6. Halka alanı 36π36\pi olur. 36π=πr236\pi = \pi r^2 eşitliğinden r=6r=6 bulunur.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 42Soru →

OO merkezli ve yarıçapı 66 cm olan bir çeyrek daire içine; [OB][OB] yarıçapını çap kabul eden bir yarım daire ile hem bu yarım daireye, hem [OA][OA] yarıçapına, hem de çeyrek dairenin yayına teğet olan MM merkezli küçük bir çember çiziliyor.

Buna göre, MM merkezli küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1,5

Cevap

Küçük çemberin yarıçapı 1,5 cm'dir.
Küçük çemberin yarıçapı rr olsun. Merkezini koordinat sisteminde (r,y)(r, y) olarak alabiliriz (y-eksenine teğet olduğu için). Büyük çeyrek daireye içten teğet olduğu için orijine uzaklığı 6−r6-r, yarım daireye dıştan teğet olduğu için yarım daire merkezine (3,0)(3,0) uzaklığı 3+r3+r olur. Bu iki koşuldan elde edilen y2=12ry^2 = 12r ve y2=36−12ry^2 = 36-12r denklemleri eşitlendiğinde 24r=3624r = 36 bulunur, buradan r=1,5r=1,5 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çeyrek daireyi koordinat düzlemine yerleştirme ve merkezleri belirleme
O(0,0)O(0,0) orijin olsun. OAOA y ekseni üzerinde, OBOB x ekseni üzerinde olsun. Yarım dairenin çapı OBOB üzerinde olduğundan, merkezi K(3,0)K(3,0) ve yarıçapı 33 cm olur.
Geometrik şekillerin konumlarını analitik düzlemde ifade etmek, teğetlik koşullarını denkleme dökmeyi kolaylaştırır.
2
Küçük çemberin merkez koordinatlarını ve teğetlik koşullarını yazma
Küçük çemberin yarıçapı rr olsun. OAOA (y-ekseni) doğrusuna teğet olduğu için merkezinin x koordinatı rr olur. Merkeze M(r,y)M(r, y) diyelim.
Bilinmeyen yarıçap rr ile merkez koordinatları arasında ilişki kurmak gerekir.
3
Pisagor bağıntılarını kurma (İki çember arası uzaklık)
1. Küçük çember ile büyük çeyrek daire (yarıçap 6) içten teğet: ∣OM∣=6−r⇒r2+y2=(6−r)2|OM| = 6 - r \Rightarrow r^2 + y^2 = (6-r)^2. 2. Küçük çember ile yarım daire (yarıçap 3, merkez (3,0)(3,0)) dıştan teğet: ∣MK∣=3+r⇒(r−3)2+y2=(3+r)2|MK| = 3 + r \Rightarrow (r-3)^2 + y^2 = (3+r)^2.
Teğet çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık, yarıçapların toplamına (dıştan teğet) veya farkına (içten teğet) eşittir.
4
Denklem sistemini çözme
İkinci denklemden: r2−6r+9+y2=r2+6r+9⇒y2=12rr^2 - 6r + 9 + y^2 = r^2 + 6r + 9 \Rightarrow y^2 = 12r. Birinci denklemden: r2+y2=36−12r+r2⇒y2=36−12rr^2 + y^2 = 36 - 12r + r^2 \Rightarrow y^2 = 36 - 12r. Eşitleyelim: 12r=36−12r⇒24r=36⇒r=1,512r = 36 - 12r \Rightarrow 24r = 36 \Rightarrow r = 1,5.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek yarıçapı bulmak.

Anahtar Kavram

Çemberlerde Teğetlik ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
Şekli analitik düzleme (koordinat sistemi) yerleştirmeyi deneyin. O noktası orijin olsun.
2
Yarım dairenin merkezi (3,0) noktasıdır. Küçük çemberin merkezi ile yarım dairenin merkezi arasındaki uzaklığı yazın.
3
Küçük çemberin yarıçapına rr, merkezinin ordinatına yy diyerek iki farklı Pisagor denklemi kurun: Biri orijine (0,0)(0,0) göre, diğeri yarım daire merkezine (3,0)(3,0) göre.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, yarım daire yerine çeyrek daire içine çizilen tam daire (Sangaku problemi) üzerinden sorarak pekiştirme yapılabilir.

Alternatif Yöntem

Descartes Çember Teoremi (Soddy Circles) genelleştirilmiş haliyle de çözülebilir ancak bu müfredat dışı ve daha karmaşıktır. En pratik yol dik üçgenler kurmaktır.
Tahmini Süre:3m 0s
ÖncekiSayfa 3 / 3
Çember ve Daire Alıştırma Soruları — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 3 | Examkin