Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇember ve Daire

OO merkezli ve yarıçapı 66 cm olan bir çeyrek daire içine; [OB][OB] yarıçapını çap kabul eden bir yarım daire ile hem bu yarım daireye, hem [OA][OA] yarıçapına, hem de çeyrek dairenin yayına teğet olan MM merkezli küçük bir çember çiziliyor.

Buna göre, MM merkezli küçük çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

  1. 1,5Cevap
  2. B
    2
  3. C
    1
  4. D
    1,2
  5. E
    2,4

Cevap

Küçük çemberin yarıçapı 1,5 cm'dir.
Küçük çemberin yarıçapı rr olsun. Merkezini koordinat sisteminde (r,y)(r, y) olarak alabiliriz (y-eksenine teğet olduğu için). Büyük çeyrek daireye içten teğet olduğu için orijine uzaklığı 6−r6-r, yarım daireye dıştan teğet olduğu için yarım daire merkezine (3,0)(3,0) uzaklığı 3+r3+r olur. Bu iki koşuldan elde edilen y2=12ry^2 = 12r ve y2=36−12ry^2 = 36-12r denklemleri eşitlendiğinde 24r=3624r = 36 bulunur, buradan r=1,5r=1,5 cm elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Çeyrek daireyi koordinat düzlemine yerleştirme ve merkezleri belirleme
O(0,0)O(0,0) orijin olsun. OAOA y ekseni üzerinde, OBOB x ekseni üzerinde olsun. Yarım dairenin çapı OBOB üzerinde olduğundan, merkezi K(3,0)K(3,0) ve yarıçapı 33 cm olur.
Geometrik şekillerin konumlarını analitik düzlemde ifade etmek, teğetlik koşullarını denkleme dökmeyi kolaylaştırır.
2
Küçük çemberin merkez koordinatlarını ve teğetlik koşullarını yazma
Küçük çemberin yarıçapı rr olsun. OAOA (y-ekseni) doğrusuna teğet olduğu için merkezinin x koordinatı rr olur. Merkeze M(r,y)M(r, y) diyelim.
Bilinmeyen yarıçap rr ile merkez koordinatları arasında ilişki kurmak gerekir.
3
Pisagor bağıntılarını kurma (İki çember arası uzaklık)
1. Küçük çember ile büyük çeyrek daire (yarıçap 6) içten teğet: ∣OM∣=6−r⇒r2+y2=(6−r)2|OM| = 6 - r \Rightarrow r^2 + y^2 = (6-r)^2. 2. Küçük çember ile yarım daire (yarıçap 3, merkez (3,0)(3,0)) dıştan teğet: ∣MK∣=3+r⇒(r−3)2+y2=(3+r)2|MK| = 3 + r \Rightarrow (r-3)^2 + y^2 = (3+r)^2.
Teğet çemberlerin merkezleri arasındaki uzaklık, yarıçapların toplamına (dıştan teğet) veya farkına (içten teğet) eşittir.
4
Denklem sistemini çözme
İkinci denklemden: r2−6r+9+y2=r2+6r+9⇒y2=12rr^2 - 6r + 9 + y^2 = r^2 + 6r + 9 \Rightarrow y^2 = 12r. Birinci denklemden: r2+y2=36−12r+r2⇒y2=36−12rr^2 + y^2 = 36 - 12r + r^2 \Rightarrow y^2 = 36 - 12r. Eşitleyelim: 12r=36−12r⇒24r=36⇒r=1,512r = 36 - 12r \Rightarrow 24r = 36 \Rightarrow r = 1,5.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek yarıçapı bulmak.

Anahtar Kavram

Çemberlerde Teğetlik ve Pisagor Bağıntısı

İpuçları

1
Şekli analitik düzleme (koordinat sistemi) yerleştirmeyi deneyin. O noktası orijin olsun.
2
Yarım dairenin merkezi (3,0) noktasıdır. Küçük çemberin merkezi ile yarım dairenin merkezi arasındaki uzaklığı yazın.
3
Küçük çemberin yarıçapına rr, merkezinin ordinatına yy diyerek iki farklı Pisagor denklemi kurun: Biri orijine (0,0)(0,0) göre, diğeri yarım daire merkezine (3,0)(3,0) göre.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir soruyu, yarım daire yerine çeyrek daire içine çizilen tam daire (Sangaku problemi) üzerinden sorarak pekiştirme yapılabilir.

Alternatif Yöntem

Descartes Çember Teoremi (Soddy Circles) genelleştirilmiş haliyle de çözülebilir ancak bu müfredat dışı ve daha karmaşıktır. En pratik yol dik üçgenler kurmaktır.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çember ve Daire

Bu konudan daha fazla soru