Aşağıdaki ABCD dörtgeninde [AC] köşegendir. ABC dik üçgeninde m(ABC)=90∘, ∣AB∣=5 cm ve ∣BC∣=12 cm'dir. ADC üçgeninde ∣AD∣=8 cm ve m(ADC)>90∘ olduğuna göre, ∣CD∣=x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
4
5
6
7
8
Cevabı ve açıklamayı göster
Cevap: 5
Cevap
Verilen koşulları sağlayan 5 farklı tam sayı değeri vardır.
Doğru yanıt olan seçenek, ∣AC∣=13 cm bulunduktan sonra 5<x<21 üçgen eşitsizliği ile x2<105 geniş açı kuralının kesişiminden gelen 5<x<10,24 aralığındaki tam sayı adedini (6, 7, 8, 9, 10) doğru ifade etmektedir.
Adım Adım Çözüm
1
ABC dik üçgeninde hipotenüs uzunluğunu hesapla.
∣AC∣2=52+122=25+144=169⇒∣AC∣=13 cm.
İki üçgenin ortak kenarı olan köşegenin uzunluğu, diğer üçgendeki bağıntıları kurmak için gereklidir.
2
ADC üçgeninde üçgen eşitsizliğini uygula.
∣13−8∣<x<13+8⇒5<x<21.
Bir üçgenin oluşabilmesi için bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.
3
m(ADC)>90∘ geniş açı koşulunu uygula.
132>82+x2⇒169>64+x2⇒x2<105⇒x<105≈10,24.
Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.
4
Elde edilen eşitsizlikleri birleştirerek x değerlerini belirle.
5<x<10,24⇒x∈{6,7,8,9,10}.
Hem üçgen eşitsizliği hem de geniş açı kuralı aynı anda sağlanmalıdır.