Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Aşağıdaki ABCDABCD dörtgeninde [AC][AC] köşegendir. ABCABC dik üçgeninde m(ABC^)=90∘m(\widehat{ABC}) = 90^\circ, ∣AB∣=5|AB| = 5 cm ve ∣BC∣=12|BC| = 12 cm'dir. ADCADC üçgeninde ∣AD∣=8|AD| = 8 cm ve m(ADC^)>90∘m(\widehat{ADC}) > 90^\circ olduğuna göre, ∣CD∣=x|CD| = x'in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

  1. A
    4
  2. 5Cevap
  3. C
    6
  4. D
    7
  5. E
    8

Cevap

Verilen koşulları sağlayan 5 farklı tam sayı değeri vardır.
Doğru yanıt olan seçenek, ∣AC∣=13|AC|=13 cm bulunduktan sonra 5<x<215 < x < 21 üçgen eşitsizliği ile x2<105x^2 < 105 geniş açı kuralının kesişiminden gelen 5<x<10,245 < x < 10,24 aralığındaki tam sayı adedini (6, 7, 8, 9, 10) doğru ifade etmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC dik üçgeninde hipotenüs uzunluğunu hesapla.
∣AC∣2=52+122=25+144=169⇒∣AC∣=13|AC|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \Rightarrow |AC| = 13 cm.
İki üçgenin ortak kenarı olan köşegenin uzunluğu, diğer üçgendeki bağıntıları kurmak için gereklidir.
2
ADCADC üçgeninde üçgen eşitsizliğini uygula.
∣13−8∣<x<13+8⇒5<x<21|13 - 8| < x < 13 + 8 \Rightarrow 5 < x < 21.
Bir üçgenin oluşabilmesi için bir kenar, diğer iki kenarın farkından büyük, toplamından küçük olmalıdır.
3
m(ADC^)>90∘m(\widehat{ADC}) > 90^\circ geniş açı koşulunu uygula.
132>82+x2⇒169>64+x2⇒x2<105⇒x<105≈10,2413^2 > 8^2 + x^2 \Rightarrow 169 > 64 + x^2 \Rightarrow x^2 < 105 \Rightarrow x < \sqrt{105} \approx 10,24.
Geniş açının karşısındaki kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyüktür.
4
Elde edilen eşitsizlikleri birleştirerek xx değerlerini belirle.
5<x<10,24⇒x∈{6,7,8,9,10}5 < x < 10,24 \Rightarrow x \in \{6, 7, 8, 9, 10\}.
Hem üçgen eşitsizliği hem de geniş açı kuralı aynı anda sağlanmalıdır.

Anahtar Kavram

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları ve Geniş Açı Kuralı
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bu konudan daha fazla soru