Temel Kavramlar ve Sayılar

301 soru

$a$ ve $b$ sıfırdan farklı gerçel sayıları için $a \cdot b = 1$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. $a$ rasyonel sayı ise $b$ rasyonel sayıdır.
II. $a$ irrasyonel sayı ise $b$ irrasyonel sayıdır.
III. $a + b$ rasyonel sayı ise $a^2$ rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

I ve III

I, II ve III

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II ifadeleri her zaman doğrudur.

I ve II öncülleri, rasyonel ve irrasyonel sayıların çarpma işlemine göre tersinin aynı sayı kümesine ait olması kuralına dayanır ve daima doğrudur. III öncülünde ise toplamı ve çarpımı rasyonel olan sayıların kendileri ve kareleri irrasyonel olabilir; bu durum kareköklü denklemlerin kök yapısından kaynaklanır.

Adım Adım Çözüm

I. öncülü analiz et.

b = \frac{1}{a}

bağıntısı yazılır.

a \cdot b = 1

olduğu için

b

sayısı

a

'nın çarpma işlemine göre tersidir. Rasyonel sayılar kümesi (sıfır hariç) çarpma işlemine göre tersi alınabilir ve sonuç yine rasyoneldir.

II. öncülü analiz et.

a

irrasyonel ise

b

de irrasyoneldir.

Eğer

b

rasyonel olsaydı,

a = \frac{1}{b}

de rasyonel olurdu. Bu durum

a

'nın irrasyonel olmasıyla çelişir. Dolayısıyla

b

irrasyonel kalmalıdır.

III. öncül için karşıt örnek oluştur.

a+b=3

rasyonel bir sayıdır.

a+b=3

ab=1

ise

a

b

sayıları

x^2 - 3x + 1 = 0

denkleminin kökleridir. Kökler

x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

şeklindedir. Bu durumda

a^2 = (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{14 + 6\sqrt{5}}{4} = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}

olur ki bu irrasyoneldir.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin kapalılık özellikleri ve rasyonel/irrasyonel sayıların işlemsel ilişkileri.

Daha Fazla Pratik

İrrasyonel iki sayının toplamının rasyonel olabileceği durumları inceleyen benzer sorular çözebilirsiniz.

Tahmini Süre:2m 0s

ÖncekiSayfa 16 / 16

Temel Kavramlar ve Sayılar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik