Examkin

Temel Kavramlar ve Sayılar

301 soru

Soru 281Soru →

x,yx, y ve zz pozitif tam sayıları için şu bilgiler verilmektedir:

* x2+xyx^2 + xy ifadesi bir tek sayıdır.
* y+zy + z ifadesi bir çift sayıdır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x⋅z+yx \cdot z + y

Cevap

x çarpı z artı y ifadesi her zaman çift sayıdır.
Verilen bilgilerden xx'in tek, yy ve zz'nin ise çift sayı olduğu sonucuna ulaşılır. Çift sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı çift olduğundan x⋅zx \cdot z ifadesi çifttir. İki çift sayının toplamı da çift olduğundan x⋅z+yx \cdot z + y ifadesi her zaman çift sonuç verir.

Adım Adım Çözüm

1
x2+xyx^2 + xy ifadesini ortak çarpan parantezine alalım.
x(x+y)x(x + y) ifadesi elde edilir.
Çarpanlara ayırma, her bir değişkenin tekliğini veya çiftliğini ayrı ayrı belirlememizi sağlar.
2
Çarpımın tek sayı olması kuralını uygulayalım.
xx tek sayı ve (x+y)(x + y) tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek olması için her iki çarpanın da tek sayı olması zorunludur.
3
x+yx + y toplamının tekliğine göre yy sayısının durumunu bulalım.
xx tek ise, toplamın tek olması için yy çift sayı olmalıdır.
Tek + Çift = Tek kuralı gereğidir.
4
y+zy + z toplamının çiftliğine göre zz sayısının durumunu bulalım.
yy çift ise, toplamın çift olması için zz çift sayı olmalıdır.
Çift + Çift = Çift kuralı gereğidir.
5
x=Tekx = Tek, y=C\cifty = Çift, z=C\ciftz = Çift değerlerini seçeneklerde kontrol edelim.
x⋅z+y=(Tek⋅C\cift)+C\cift=C\cift+C\cift=C\ciftx \cdot z + y = (Tek \cdot Çift) + Çift = Çift + Çift = Çift bulunur.
Çarpma ve toplama kurallarına göre bu ifade her zaman çift sonuç verir.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinde sonuçların tekliği veya çiftliği, işleme giren sayıların paritelerine bağlıdır.

İpuçları

1
x2+xyx^2 + xy ifadesini x(x+y)x(x + y) şeklinde yazarak çarpanların tek/çift durumunu inceleyin.
2
Çarpımın tek olması için her iki çarpanın da tek olması gerektiğini unutmayın. Bu durum xx ve yy hakkında size kesin bilgi verecektir.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin rasyonel sayı veya tam sayı olma durumunun 'daima' sorularındaki etkisini inceleyin.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 282Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısının birler ve yüzler basamağındaki rakamlar yer değiştirdiğinde sayı 297 azalmaktadır.

A=2CA = 2C olduğuna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

En büyük ABC sayısının rakamları toplamı 18'dir.
Basamakların yer değiştirmesiyle oluşan fark 99(A−C)=29799(A-C)=297 eşitliğini verir, buradan A−C=3A-C=3 bulunur. A=2CA=2C şartı kullanıldığında C=3C=3 ve A=6A=6 elde edilir. Sayının en büyük olması için onlar basamağındaki BB rakamı en büyük rakam olan 9 seçilir. Böylece sayı 693 olur ve rakamları toplamı 6+9+3=186+9+3=18'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Basamak değişimi ifadesini matematiksel denkleme dök
ABC−CBA=297ABC - CBA = 297
Sayının değeri azaldığına göre ilk sayı (ABC) ikinci sayıdan (CBA) büyüktür.
2
Sayıları çözümle ve farkı sadeleştir
(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=297⇒99(A−C)=297⇒A−C=3(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 297 \Rightarrow 99(A - C) = 297 \Rightarrow A - C = 3
10B terimleri birbirini götürür, geriye A ve C arasındaki fark kalır.
3
Verilen A=2CA = 2C şartını kullanarak A ve C'yi bul
2C−C=3⇒C=32C - C = 3 \Rightarrow C = 3. Buradan A=2×3=6A = 2 \times 3 = 6 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözmek için yerine koyma metodu uygulanır.
4
En büyük sayıyı oluşturmak için B rakamını belirle
Sayı 6B36B3 formatındadır. En büyük sayı istendiği için BB rakamı en büyük değer olan 99 seçilir. Sayı: 693693.
B rakamı üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur, sayıyı büyütmek için onlar basamağı maksimize edilir.
5
Rakamlar toplamını hesapla
6+9+3=186 + 9 + 3 = 18
Soruda istenen nihai değer rakamların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Doğal sayıların basamaklarına ayrılması (çözümleme) ve rakamların basamak değerleri arasındaki ilişkilerin kullanılması.

İpuçları

1
Bir sayı çözümlenirken ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C şeklinde yazılır.
2
ABC−CBAABC - CBA işlemini çözümleyerek yazdığınızda, 10B terimleri birbirini götürecektir. Geriye 99 parantezinde bir ifade kalır.
3
99(A−C)=29799(A-C) = 297 eşitliğinden AA ve CC arasındaki farkı bulun, sonra A=2CA=2C eşitliğini kullanın. B'yi en büyük seçmeyi unutmayın.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yöntemi: A=2CA=2C şartını sağlayan rakam ikilileri (2,1), (4,2), (6,3), (8,4)'tür. Bu ikililer için yüzler ve birler basamağı yer değiştiğinde farkın 297 olup olmadığı kontrol edilebilir. 600−300=300600-300=300 civarı bir fark gerektiğinden (6,3) çifti hemen göze çarpar.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 283Soru →

Bir site yönetiminde, daireler 1'den başlayarak nn'ye kadar ardışık tam sayılarla numaralandırılmıştır. Sitenin ilk etabında yer alan 1'den 14'e kadar olan numaralı daireler (14 dahil) aidat ödemesinden muaf tutulmuştur. Muafiyet uygulanan daireler hesaba katılmadığında, kalan dairelerin numaraları toplamı ile sitedeki tüm dairelerin numaraları toplamının 1535 olduğu hesaplanmıştır. Buna göre, sitede toplam kaç daire bulunmaktadır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 40

Cevap

Sitedeki toplam daire sayısı 40'tır.
Soruda verilen ilişki, tüm sayıların toplamı ile ilk 14 sayının eksiltilmesiyle elde edilen kalan toplamın 1535 olduğudur. Matematiksel olarak Ttu¨m+(Ttu¨m−Tilk_14)=1535T_{tüm} + (T_{tüm} - T_{ilk\_14}) = 1535 denklemi kurulur. İlk 14 sayının toplamı 105 olarak hesaplanır. Denklem çözüldüğünde 1'den n'ye kadar olan sayıların toplamının 820 olduğu bulunur. n(n+1)2=820\frac{n(n+1)}{2} = 820 eşitliğinden n(n+1)=1640n(n+1) = 1640 elde edilir. Bu çarpımı sağlayan ardışık tam sayılar 40 ve 41'dir, dolayısıyla n=40n=40 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemi matematiksel ifadelere dök.
Tüm dairelerin toplamı Ttu¨m=1+2+...+nT_{tüm} = 1 + 2 + ... + n. Kalan dairelerin toplamı Tkalan=15+...+nT_{kalan} = 15 + ... + n. Verilen eşitlik: Ttu¨m+Tkalan=1535T_{tüm} + T_{kalan} = 1535.
Sözel ifadeyi çözülebilir denklemlere dönüştürmek için.
2
Muaf tutulan dairelerin (1'den 14'e kadar) toplamını hesapla.
Tmuaf=14×152=105T_{muaf} = \frac{14 \times 15}{2} = 105.
Kalan toplamı, tüm toplam cinsinden ifade edebilmek için (Tkalan=Ttu¨m−TmuafT_{kalan} = T_{tüm} - T_{muaf}).
3
Ana denklemi tek değişkene indirge ve çöz.
Ttu¨m+(Ttu¨m−105)=1535⇒2Ttu¨m−105=1535⇒2Ttu¨m=1640⇒Ttu¨m=820T_{tüm} + (T_{tüm} - 105) = 1535 \Rightarrow 2T_{tüm} - 105 = 1535 \Rightarrow 2T_{tüm} = 1640 \Rightarrow T_{tüm} = 820.
Tüm dairelerin numaraları toplamını bulmak için.
4
Ardışık sayılar toplam formülünü kullanarak n değerini bul.
n(n+1)2=820⇒n(n+1)=1640\frac{n(n+1)}{2} = 820 \Rightarrow n(n+1) = 1640. 40×41=164040 \times 41 = 1640 olduğundan n=40n = 40.
Daire sayısını (nn) elde etmek için.

Anahtar Kavram

Ardışık doğal sayıların toplamı (Gauss toplamı) ve sonlu toplamların özellikleri.

İpuçları

1
Kalan dairelerin toplamını, tüm dairelerin toplamından muaf olanları çıkararak ifade etmeyi deneyin.
2
1'den 14'e kadar olan sayıların toplamını hesaplayın ve ana denkleme yerleştirin: T+(T−105)=1535T + (T - 105) = 1535.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, belirli bir aralıktaki ardışık çift sayıların toplamı verilen bir problem çözülebilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 284Soru →
x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
x⋅(y+z)=2x2+35 x \cdot (y + z) = 2x^2 + 35

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 26

Cevap

Sayıların toplamı 26'dır.
Verilen denklem y+z=2x+35/xy+z = 2x + 35/x şeklinde düzenlendiğinde, xx sayısının 35'in asal böleni olması gerektiği görülür (x=5x=5 veya x=7x=7). x=5x=5 durumunda y+z=17y+z=17 olur ancak 17'yi veren asal çift yoktur (2+15, 15 asal değil). x=7x=7 durumunda y+z=19y+z=19 olur, bu da 22 ve 1717 asal sayılarıyla sağlanır. x,y,zx, y, z birbirinden farklı (7,2,177, 2, 17) olduğundan çözüm geçerlidir. Toplamları 26'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği sadeleştir
x⋅(y+z)=2x2+35x \cdot (y + z) = 2x^2 + 35 ifadesinde her iki tarafı xx'e böl:
y+z=2x+35x y + z = 2x + \frac{35}{x}
yy ve zz tam sayı olduğu için eşitliğin sağ tarafı da tam sayı olmalıdır.
2
xx için olası değerleri belirle
xx asal sayısı 35'i tam bölmelidir. 35'in asal çarpanları: 5 ve 7. O halde x=5x=5 veya x=7x=7 olabilir.
Bir asal sayı, ancak kendisinin katlarını tam böler.
3
x=5x=5 durumunu sına
y+z=2(5)+35/5=10+7=17y + z = 2(5) + 35/5 = 10 + 7 = 17. Toplamları 17 olan iki asal sayı arıyoruz. Tek sayı (17) elde etmek için biri 2 olmalıdır (çünkü tüm diğer asallar tektir ve tek+tek=çift olur). 2+15=172 + 15 = 17. Ancak 15 asal değildir.
x=5x=5 için çözüm yoktur.
4
x=7x=7 durumunu sına
y+z=2(7)+35/7=14+5=19y + z = 2(7) + 35/7 = 14 + 5 = 19. Toplamları 19 olan asallar: Biri 2 olmalıdır. 2+17=192 + 17 = 19. 2 ve 17 asaldır. Sayılar: x=7,y=2,z=17x=7, y=2, z=17 (veya y=17,z=2y=17, z=2).
Bu değerler birbirinden farklı asal sayı şartını sağlar (2,7,172, 7, 17).
5
Toplamı hesapla
x+y+z=7+2+17=26x + y + z = 7 + 2 + 17 = 26.
Bulunan tek geçerli çözüm kümesinin toplamı.

Anahtar Kavram

Asal sayılarla bölünebilme ve asalların toplamında teklik-çiftlik (parite) analizi.

İpuçları

1
Eşitliğin her iki tarafını xx parantezine almayı veya xx'e bölerek y+zy+z'yi yalnız bırakmayı deneyin.
2
y+z=2x+35/xy+z = 2x + 35/x elde edeceksiniz. Burada 35/x35/x ifadesinin tam sayı olması için xx hangi asal değerleri alabilir?
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 285Soru →

A, B ve C sıfırdan farklı birer rakam olmak üzere; üç basamaklı ABC doğal sayısı, rakamları toplamının 21 katına eşittir.

Buna göre, B⋅C−AB \cdot C - A ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 53

Cevap

İşlemin sonucu 53'tür.
Verilen eşitlik 100A+10B+C=21(A+B+C)100A + 10B + C = 21(A+B+C) şeklinde düzenlendiğinde 79A=11B+20C79A = 11B + 20C elde edilir. Bu denklemi sağlayan ve rakam olma şartına uyan tek üçlü (A,B,C)=(3,7,8)(A,B,C) = (3,7,8)'dir. İstenen B⋅C−AB \cdot C - A değeri 7⋅8−3=537 \cdot 8 - 3 = 53 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifade matematiksel denkleme dökülür ve basamak analizi yapılır.
100A+10B+C=21⋅(A+B+C)100A + 10B + C = 21 \cdot (A + B + C)
ABC sayısı 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümlenir.
2
Denklem düzenlenerek değişkenler arasındaki ilişki basitleştirilir.
100A+10B+C=21A+21B+21C100A + 10B + C = 21A + 21B + 21C
79A=11B+20C79A = 11B + 20C
Aynı türden terimler bir araya toplanarak eşitlik sadeleştirilir.
3
Eşitliğin sağ tarafının alabileceği maksimum değeri bularak A için olası değerler sınırlandırılır.
Maksimum sağ taraf (B=9,C=9B=9, C=9 için): 11(9)+20(9)=99+180=27911(9) + 20(9) = 99 + 180 = 279.
79A≤279  ⟹  A≤379A \le 279 \implies A \le 3
A bir rakam olduğu için katsayısı büyük olan A'nın alabileceği değerler analiz edilir.
4
A için olası değerler (1, 2, 3) denenerek B ve C rakamları bulunur.
A=3 için:
237=11B+20C237 = 11B + 20C
Eşitliği sağlayan değerler C=8C=8 ve B=7B=7'dir (11(7)+20(8)=77+160=23711(7) + 20(8) = 77 + 160 = 237).
A=1 ve A=2 durumlarında B ve C için uygun rakamlar bulunamaz. Tek çözüm kümesi A=3,B=7,C=8A=3, B=7, C=8'dir.
5
Bulunan değerler istenen ifadede yerine yazılır.
B⋅C−A=7⋅8−3=56−3=53B \cdot C - A = 7 \cdot 8 - 3 = 56 - 3 = 53
Sonuç hesaplanır.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Diophantine Denklemler

İpuçları

1
ABC sayısını 100A+10B+C100A + 10B + C şeklinde çözümleyerek verilen eşitliği sadeleştirin.
2
Sadeleştirme sonucunda 79A=11B+20C79A = 11B + 20C eşitliğini elde edeceksiniz. A'nın katsayısı büyük olduğu için A'ya küçük değerler vererek (1, 2, 3) deneme yapın.
3
Eşitliğin sağ tarafı en fazla 11(9)+20(9)=27911(9)+20(9)=279 olabilir. Bu yüzden 79A≤27979A \le 279 olmalıdır, yani A en fazla 3 olabilir. A=3 için denklemi çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla, ABC=k⋅(A+B+C)ABC = k \cdot (A+B+C) tipindeki sorularda k katsayısının değişimiyle çözümün nasıl etkilendiğini inceleyen sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Modüler aritmetik kullanarak çözüm aralığı daraltılabilir. 79A≡2A(mod11)79A \equiv 2A \pmod{11} ve 11B+20C≡9C(mod11)11B + 20C \equiv 9C \pmod{11} olduğu için 2A≡9C(mod11)2A \equiv 9C \pmod{11} denkliği üzerinden A ve C arasındaki ilişki daha hızlı kontrol edilebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 286Soru →

xx, yy ve zz sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlar ve x>y>zx > y > z olmak üzere;

xyz+yzx+zxy=1665xyz + yzx + zxy = 1665


eşitliği veriliyor. Buna göre, bu koşulları sağlayan en büyük iki basamaklı xyxy doğal sayısı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 95

Cevap

En büyük xyxy sayısı 95'tir.
Verilen eşitlik çözümlendiğinde 111(x+y+z)=1665111(x+y+z) = 1665 elde edilir, buradan x+y+z=15x+y+z=15 bulunur. xyxy sayısının en büyük olması için onlar basamağı xx en büyük seçilmelidir (x=9x=9). Kalan y+z=6y+z=6 toplamı için, y>zy>z ve z≠0z \neq 0 koşulunu sağlayan en büyük yy değeri aranır. (5,1)(5,1) ikilisi bu şartları sağlar (9>5>19>5>1). Böylece en büyük sayı 95 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen üç basamaklı sayıları çözümleyerek toplamı x,y,zx, y, z cinsinden ifade et.
xyz+yzx+zxy=(100x+10y+z)+(100y+10z+x)+(100z+10x+y)=111(x+y+z)xyz + yzx + zxy = (100x+10y+z) + (100y+10z+x) + (100z+10x+y) = 111(x+y+z)
Basamak analizi problemlerinde sayıları çözümleyerek rakamlar arası ilişkiyi bulmak temel adımdır.
2
Elde edilen denklemi çözerek rakamların toplamını bul.
111(x+y+z)=1665  ⟹  x+y+z=1665111=15111(x+y+z) = 1665 \implies x+y+z = \frac{1665}{111} = 15
Rakamların toplamını bulmak, olası (x,y,z)(x, y, z) üçlülerini belirlemek için gereklidir.
3
xyxy sayısının en büyük olması için xx ve yy'yi maksimize et.
xx en büyük rakam olan 9 olsun. Bu durumda y+z=15−9=6y+z = 15-9 = 6 olur.
İki basamaklı sayının değeri onlar basamağına (xx) daha çok bağlıdır, bu yüzden önce xx maksimize edilir.
4
x>y>zx>y>z ve z≠0z \neq 0 koşullarına uygun (y,z)(y, z) ikililerini kontrol et.
y+z=6y+z=6 ve y>zy>z için olası ikililer: (5,1)(5,1) ve (4,2)(4,2)'dir. yy en çok 5 olabilir. Bu durumda z=1z=1 olur. Koşullar (9>5>19>5>1 ve hepsi sıfırdan farklı) sağlanır.
En büyük xyxy sayısı için x=9x=9 iken mümkün olan en büyük yy değeri seçilmelidir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1
Üç basamaklı sayıları xyz=100x+10y+zxyz = 100x + 10y + z şeklinde çözümleyerek toplayınız.
2
Toplama işleminde x,yx, y ve zz'nin katsayılarının eşit olduğunu fark edip paranteze alınız: 111(x+y+z)111(x+y+z).
3
x+y+z=15x+y+z=15 bulunduktan sonra, x>y>zx > y > z şartını sağlayan ve xx'i (sonra da yy'yi) en büyük yapan değerleri deneyiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer kısıtlamalarla en küçük xyzxyz sayısını soran bir problem çözerek eşitsizlik mantığını pekiştirin.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 287Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
5⋅(x−3)!−3⋅(3−x)!+(x+1)!(x−1)! \frac{5 \cdot (x-3)! - 3 \cdot (3-x)! + (x+1)!}{(x-1)!}

ifadesi bir reel sayı belirtmektedir.

Buna göre, bu ifadenin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 13

Cevap

İfadenin tanımlı olması için x = 3 olmalıdır, bu durumda işlem sonucu 13 bulunur.
Faktöriyel ifadesinin tanımlı olabilmesi için içinin negatif olmaması gerekir. Soruda verilen (x−3)!(x-3)! ve (3−x)!(3-x)! ifadelerinin her ikisinin de tanımlı olabilmesi için x−3≥0x-3 \ge 0 ve 3−x≥03-x \ge 0 şartları sağlanmalıdır. Bu durum sadece x=3x=3 olduğunda mümkündür. Denklemde x=3x=3 yazıldığında sonuç 13 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel tanım aralığını belirle
x-3 ≥ 0 ve 3-x ≥ 0 olmalıdır.
Faktöriyel işlemi sadece doğal sayılar (negatif olmayan tam sayılar) için tanımlıdır.
2
x değerini bul
x ≥ 3 ve x ≤ 3 eşitsizliklerinin ortak çözümü x = 3'tür.
Her iki faktöriyel içinin de negatif olmaması ancak x'in 3 olmasıyla mümkündür.
3
x = 3 değerini ifadeye yerleştir
Pay: 5·0! - 3·0! + 4! = 5(1) - 3(1) + 24 = 26. Payda: 2! = 2.
0! = 1 ve 4! = 24 değerleri kullanılarak işlem yapılır.
4
Sonucu hesapla
26 / 2 = 13
Bölme işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tanım Aralığı ve 0!

İpuçları

1
Faktöriyel işareti içindeki sayıların (n!) negatif olamayacağını hatırlayın.
2
Hem (x−3)!(x-3)! hem de (3−x)!(3-x)! ifadelerinin tanımlı olabilmesi için x kaç olmalıdır?
3
x−3≥0x-3 \ge 0 ve 3−x≥03-x \ge 0 eşitsizliklerini aynı anda sağlayan tek tam sayı x=3'tür. İfadede x yerine 3 yazarak hesaplayın.

Daha Fazla Pratik

İç içe köklerde tanım aralığı soruları (örn: x−2+2−x\sqrt{x-2} + \sqrt{2-x}) ile bu konuyu pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 288Soru →

aa ve bb pozitif tam sayılar olmak üzere, (3a−2b)(3a - 2b) ve (2a+3b)(2a + 3b) ifadeleri aralarında asal sayılardır.

3a−2b2a+3b=91117\frac{3a - 2b}{2a + 3b} = \frac{91}{117}


eşitliği sağlandığına göre, a+ba + b toplamı kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

4
Soruda (3a−2b)(3a - 2b) ve (2a+3b)(2a + 3b) ifadelerinin aralarında asal olduğu belirtilmiştir. Bu, ifadelerin oranının (91117\frac{91}{117}) en sade haline eşit olması gerektiğini gösterir. 91 ve 117 sayıları 13 ile sadeleştirildiğinde oran 79\frac{7}{9} olur. Buradan kurulan 3a−2b=73a - 2b = 7 ve 2a+3b=92a + 3b = 9 denklem sistemi çözüldüğünde a=3a=3 ve b=1b=1 bulunur. Toplamları 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen kesri en sade haline getir.
91 ve 117 sayıları 13 ile bölünebilir.
91117=7×139×13=79\frac{91}{117} = \frac{7 \times 13}{9 \times 13} = \frac{7}{9}
Soruda ifadelerin 'aralarında asal' olduğu belirtilmiştir. Bu durumda karşıdaki kesir de aralarında asal (en sade) formda olmalıdır.
2
Pay ve paydayı eşitleyerek iki bilinmeyenli denklem sistemini kur.
3a−2b=73a - 2b = 7
2a+3b=92a + 3b = 9
Kesirler eşit ve en sade halde olduklarından, pay paya, payda paydaya eşittir.
3
Yok etme metoduyla sistemi çöz.
Üstteki denklemi 3 ile, alttaki denklemi 2 ile çarpıp toplayalım:
9a−6b=219a - 6b = 21
4a+6b=184a + 6b = 18
----------------
13a=39⇒a=313a = 39 \Rightarrow a = 3

Bulunan a değerini yerine yazalım:
2(3)+3b=9⇒6+3b=9⇒3b=3⇒b=12(3) + 3b = 9 \Rightarrow 6 + 3b = 9 \Rightarrow 3b = 3 \Rightarrow b = 1
Değişkenlerden birini yok ederek sonuca ulaşılır.
4
İstenen toplamı hesapla.
a+b=3+1=4a + b = 3 + 1 = 4
Sonuç adımı.

Anahtar Kavram

İki ifade aralarında asal ise, bu ifadelerin oranı en sade haldeki kesre eşittir.

İpuçları

1
Verilen kesirdeki 91 sayısı asal gibi görünse de çarpanlarına ayrılabilir. 91 = 7 x 13 olduğunu hatırlayın.
2
İki ifadenin 'aralarında asal' olması, oranlarının en sade kesre eşit olması demektir. 91/117 kesrini 13 ile sadeleştirin.
3
Sadeleştirme sonucu 79\frac{7}{9} elde edilir. Şimdi 3a−2b=73a - 2b = 7 ve 2a+3b=92a + 3b = 9 denklemlerini çözün.

Daha Fazla Pratik

Benzer mantıkla kurgulanmış, ancak ifadelerin çarpımını soran bir soru çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Yok etme metodu yerine yerine koyma metodu da kullanılabilir, ancak rasyonel sayılarla işlem yapmak gerekeceği için daha zor olabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 289Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
K=(x−2)!+(7−x)!(x−5)! K = \frac{(x-2)! + (7-x)!}{(x-5)!}

ifadesi bir tam sayıya eşittir.

Buna göre, KK sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 33

Cevap

KK ifadesinin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 33'tür.
Faktöriyel tanımı gereği xx sayısı 5≤x≤75 \le x \le 7 aralığında olmalıdır. Bu aralıktaki değerler (5,6,75, 6, 7) yerine konulduğunda sadece x=5x=5 ve x=6x=6 için sonuç tam sayı çıkmaktadır (88 ve 2525). Bu değerlerin toplamı 33'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel işleminin tanımlı olması için parantez içlerinin negatif olmaması şartını incele.
x−2≥0⇒x≥2x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2
7−x≥0⇒x≤77-x \ge 0 \Rightarrow x \le 7
x−5≥0⇒x≥5x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5
Negatif sayıların faktöriyeli tanımsızdır.
2
Elde edilen eşitsizliklerin kesişim kümesini bularak xx in alabileceği değerleri belirle.
Ortak çözüm aralığı 5≤x≤75 \le x \le 7 şeklindedir. Yani xx değerleri {5,6,7}\{5, 6, 7\} olabilir.
Tüm faktöriyel ifadelerinin aynı anda tanımlı olması gerekir.
3
Belirlenen xx değerlerini yerine koyarak KK değerlerini hesapla ve tam sayı olup olmadıklarını kontrol et.
1. Durum (x=5x=5): K=3!+2!0!=6+21=8K = \frac{3! + 2!}{0!} = \frac{6+2}{1} = 8 (Tam sayı)
2. Durum (x=6x=6): K=4!+1!1!=24+11=25K = \frac{4! + 1!}{1!} = \frac{24+1}{1} = 25 (Tam sayı)
3. Durum (x=7x=7): K=5!+0!2!=120+12=60,5K = \frac{5! + 0!}{2!} = \frac{120+1}{2} = 60,5 (Tam sayı değil)
Soruda ifadenin bir tam sayıya eşit olduğu belirtilmiştir.
4
Bulunan uygun KK değerlerini topla.
8+25=338 + 25 = 33
Sonuç istenmektedir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel Tanım Aralığı ve Tam Sayı Kavramı

İpuçları

1
Faktöriyel işlemi sadece doğal sayılar için tanımlıdır (n≥0n \ge 0). Öncelikle xx'in hangi aralıkta olabileceğini belirleyin.
2
Eşitsizlik sistemini (x−2≥0x-2 \ge 0, 7−x≥07-x \ge 0, x−5≥0x-5 \ge 0) çözerek xx'in alabileceği 3 olası değeri bulun.
3
Bulduğunuz xx değerlerini yerine koyarak işlemi yapın. Sonucun 'tam sayı' olup olmadığını kontrol etmeyi unutmayın.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 290Soru →
a,ba, b ve cc asal sayılardır.
a⋅(b+c)=75 a \cdot (b + c) = 75

eşitliği verilmektedir. Buna göre a+b+ca + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 28

Cevap

Toplamın alabileceği en büyük değer 28'dir.
Verilen eşitlikte çarpım tek sayı (75) olduğundan çarpanların hepsi tek olmalıdır. aa bir asal sayı olduğu için 75'in asal çarpanları olan 3 veya 5 olabilir. Ayrıca b+cb+c toplamı da tek sayı olmalıdır. İki sayının toplamının tek olması için biri tek, biri çift olmalıdır. Asal sayılar içinde çift olan tek sayı 2'dir. Bu durumda bb veya cc'den biri kesinlikle 2'dir. İki senaryo oluşur: a=3a=3 için b+c=25b+c=25 (2+23 asaldır, toplam 28) ve a=5a=5 için b+c=15b+c=15 (2+13 asaldır, toplam 20). En büyük değer 28'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliği analiz et
aa sayısı 75'in bir asal çarpanı olmalıdır. 75'in asal çarpanları 3 ve 5'tir. Yani a=3a = 3 veya a=5a = 5 olabilir.
Bir asal sayı ile bir tamsayının çarpımı 75 ise, bu asal sayı 75'i tam bölmelidir.
2
Teklik-Çiftlik durumunu incele
Çarpım 75 (tek sayı) olduğundan, çarpanların her ikisi de tek olmalıdır. Yani (b+c)(b+c) tek sayıdır. İki asal sayının toplamının tek olabilmesi için, bunlardan biri çift (yani 2), diğeri tek olmalıdır.
Tek sayı ×\times Tek sayı = Tek sayı. Tek + Tek = Çift olacağından, toplamın tek olması için sayılardan biri çift olmak zorundadır.
3
Olası durumları hesapla
1. Durum (a=3a=3): b+c=25b+c = 25. b=2b=2 ise c=23c=23 (Asal). Toplam: 3+2+23=283+2+23 = 28.
2. Durum (a=5a=5): b+c=15b+c = 15. b=2b=2 ise c=13c=13 (Asal). Toplam: 5+2+13=205+2+13 = 20.
Her iki durumu da test edip asal sayı şartlarını sağlayan kümeleri bulmak gerekir.
4
Karşılaştırma yap
Bulunan toplamlar 20 ve 28'dir. En büyük değer 28'dir.
Soru bizden olası en büyük toplamı istemektedir.

Anahtar Kavram

Asal sayılarla işlemlerde teklik-çiftlik analizi (özellikle 2'nin tek çift asal sayı olması)

İpuçları

1
75 sayısı tek bir sayıdır. Çarpımları tek olan sayıların her biri tek olmalıdır.
2
b+cb+c toplamı tek sayı olmalıdır. Asal sayılar içinde çift olan sadece 2 sayısı vardır.
3
aa sayısı 75'in asal çarpanı olmalıdır (3 veya 5). Her iki durumu deneyerek bb ve cc'nin asal olup olmadığını kontrol edin.

Daha Fazla Pratik

Çarpımları çift sayı olan asal sayı sorularında 2 çarpanının rolünü inceleyen sorular çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 291Soru →

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı, bu sayının rakamları kullanılarak oluşturulabilecek rakamları birbirinden farklı tüm iki basamaklı doğal sayıların toplamının 2 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısı için A+B−CA + B - C ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

14
Verilen koşulu sağlayan tek sayı 792792'dir. Bu durumda A=7,B=9,C=2A=7, B=9, C=2 olur ve A+B−C=14A+B-C = 14 değeri elde edilir. Çözüm, basamak değerlerinin ayrıştırılması ve oluşan Diophantine (tam sayı) denkleminin parite analizi ile çözülmesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen iki basamaklı sayıların toplamını ifade et.
A,B,CA, B, C rakamları ile yazılabilecek rakamları farklı iki basamaklı sayılar: AB,AC,BA,BC,CA,CBAB, AC, BA, BC, CA, CB. Bunların toplamı: (10A+B)+(10A+C)+(10B+A)+(10B+C)+(10C+A)+(10C+B)=22(A+B+C)(10A+B) + (10A+C) + (10B+A) + (10B+C) + (10C+A) + (10C+B) = 22(A+B+C).
Basamak çözümlemesi yaparak toplamı A,B,CA, B, C cinsinden bulmak gerekir.
2
Verilen eşitliği matematiksel denkleme dök.
ABC=2×22(A+B+C)⇒100A+10B+C=44(A+B+C)ABC = 2 \times 22(A+B+C) \Rightarrow 100A + 10B + C = 44(A+B+C)
Problemdeki sözel ifadeyi cebirsel eşitliğe çevirmek için.
3
Denklemi düzenleyerek katsayıları sadeleştir.
100A+10B+C=44A+44B+44C⇒56A=34B+43C100A + 10B + C = 44A + 44B + 44C \Rightarrow 56A = 34B + 43C
Bilinmeyenleri gruplayarak çözüm kümesini daraltmak için.
4
Eşitliğin sağ ve sol tarafındaki sayıların tek-çift (parite) durumunu incele.
56A56A çifttir, 34B34B çifttir. Eşitliğin sağlanması için 43C43C çift olmalıdır. 43 tek sayı olduğu için CC kesinlikle çift bir rakamdır (2,4,6,82, 4, 6, 8).
Tam sayı analizinde çözüm aralığını daraltmak için parite kontrolü yapılır.
5
CC değerlerini deneyerek uygun AA ve BB rakamlarını bul.
C=2C=2 için denklem: 56A=34B+8656A = 34B + 86. Her tarafı 2'ye böl: 28A=17B+4328A = 17B + 43. Modüler aritmetik veya deneme yoluyla A=7A=7 bulunur (28×7=19628 \times 7 = 196). Buradan 196=17B+43⇒17B=153⇒B=9196 = 17B + 43 \Rightarrow 17B = 153 \Rightarrow B=9. Bulunan sayılar A=7,B=9,C=2A=7, B=9, C=2 olup hepsi birbirinden farklıdır ve denklemi sağlar (792=44×18792 = 44 \times 18).
Diğer CC değerleri (4,6,84, 6, 8) için geçerli bir rakam çözümü bulunamaz.
6
İstenen değeri hesapla.
A+B−C=7+9−2=14A + B - C = 7 + 9 - 2 = 14.
Sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Teorisi (Parite ve Bölünebilme)

İpuçları

1
A,B,CA, B, C rakamları ile yazılabilecek rakamları farklı iki basamaklı tüm sayıların toplamını A,B,CA, B, C cinsinden ifade ediniz. Bu toplam 22(A+B+C)22(A+B+C) olacaktır.
2
Elde ettiğiniz denklem 100A+10B+C=44(A+B+C)100A + 10B + C = 44(A+B+C) şeklindedir. Bunu sadeleştirerek 56A=34B+43C56A = 34B + 43C elde ediniz.
3
Eşitliğin sol tarafı ve 34B34B terimi çifttir. Bu nedenle 43C43C terimi de çift olmalıdır. CC yerine çift rakamları (2,4,6,82, 4, 6, 8) deneyerek çözüme ulaşabilirsiniz.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, ABC=3×(A!+B!+C!)ABC = 3 \times (A! + B! + C!) gibi faktöriyel içeren basamak analizi soruları çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Denklemi 11(5A−3B−4C)=A−B−C11(5A - 3B - 4C) = A - B - C şeklinde modüler aritmetik yaklaşımıyla düzenleyerek, sol tarafın 11'in katı olması gerektiğinden yola çıkıp çözüm aralığı daha hızlı daraltılabilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 292Soru →
Tahtada yazılı olan
5!3!⋅2!−0! \frac{5!}{3! \cdot 2!} - 0!

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

İşlemin sonucu 9 olarak bulunur.
İşlemde verilen faktöriyel ifadeleri açıldığında 5!=1205! = 120, 3!=63! = 6, 2!=22! = 2 ve 0!=10! = 1 olduğu görülür. Paydadaki 3!⋅2!3! \cdot 2! çarpımı 12 eder. 120/12=10120 / 12 = 10 elde edilir. Son olarak 10−0!=10−1=910 - 0! = 10 - 1 = 9 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel değerlerini hesaplayınız.
5!=1205! = 120, 3!=63! = 6, 2!=22! = 2 ve 0!=10! = 1
İşlemdeki terimlerin sayısal değerlerini bulmak için faktöriyel tanımı uygulanır.
2
Paydadaki çarpma işlemini yapınız.
3!⋅2!=6⋅2=123! \cdot 2! = 6 \cdot 2 = 12
Bölme işleminden önce paydadaki ifadenin değerinin netleşmesi gerekir.
3
Bölme işlemini gerçekleştiriniz.
12012=10\frac{120}{12} = 10
Kesirli ifadenin değerini bulmak için pay paydaya bölünür.
4
Çıkarma işlemini yaparak sonuca ulaşınız.
10−1=910 - 1 = 9
Bulunan değerden 0!0! değeri çıkarılarak nihai sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Faktöriyel tanımı ve temel özellikler

İpuçları

1
Faktöriyel hesaplamalarına en küçük sayılardan başlayın: 0!0!, 2!2! ve 3!3! değerlerini hatırlayın.
2
0!0! değerinin özel bir durum olduğunu ve 1'e eşit olduğunu unutmayın.
3
5!5! değerini 120120 olarak hesapladıktan sonra paydadaki 3!⋅2!=123! \cdot 2! = 12 değerine bölün.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir pekiştirme için 4!+3!3!\frac{4! + 3!}{3!} işlemini çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

5!5! ifadesini 5⋅4⋅3!5 \cdot 4 \cdot 3! şeklinde açarak paydadaki 3!3! ile sadeleştirebilirsiniz. Bu durumda işlem 5⋅42!−0!=202−1=10−1=9\frac{5 \cdot 4}{2!} - 0! = \frac{20}{2} - 1 = 10 - 1 = 9 halini alır.
Tahmini Süre:45s
Soru 293Soru →
Sıfırdan farklı bir xx gerçel sayısı için,
x2−6x x^2 - 6x

ifadesinin bir rasyonel sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: (x - 3)² ifadesi rasyonel bir sayıdır

Cevap

(x - 3)² ifadesi rasyonel bir sayıdır seçeneği doğrudur.
Verilen x² - 6x ifadesi, (x-3)² tam kare açılımının ana parçasıdır. (x-3)² ifadesini açtığımızda x² - 6x + 9 elde ederiz. Soruda x² - 6x kısmının rasyonel olduğu verilmiştir. Rasyonel bir sayıya 9 (rasyonel) eklendiğinde sonuç yine rasyonel olacağından, (x-3)² daima rasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgiyi matematiksel olarak tanımla.
x² - 6x = q olsun, burada q ∈ ℚ (rasyonel sayılar kümesi).
Soruda ifadenin rasyonel olduğu belirtilmiştir.
2
Doğru olduğu iddia edilen seçeneği (x - 3)² incele ve açılımını yap.
(x - 3)² = x² - 6x + 9
Tam kare özdeşliğini kullanarak ifadenin bileşenlerini görmek için.
3
Elde edilen açılımda verilen bilgiyi yerine koy.
(x - 3)² = (x² - 6x) + 9 = q + 9
x² - 6x ifadesinin q olduğunu biliyoruz.
4
Sonucun rasyonellik durumunu analiz et.
q rasyoneldir, 9 rasyoneldir. İki rasyonel sayının toplamı (q + 9) daima rasyoneldir.
Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemi altında kapalıdır.

Anahtar Kavram

Tam Kareye Tamamlama ve Rasyonel Sayıların Kapalılık Özelliği

İpuçları

1
Verilen ifadeyi (x² - 6x) tam kare bir ifadeye benzetmeye çalışın.
2
(x - a)² açılımını düşünün. Burada a ne olmalıdır ki açılımda -6x terimi bulunsun?
3
(x - 3)² ifadesini açın ve soruda verilen x² - 6x bilgisini bu açılımın içinde arayın.

Daha Fazla Pratik

x³ + 1/x³ toplamının rasyonel olduğu durumda x + 1/x ifadesinin rasyonelliğini sorgulayan sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

x sayısını 3 + √k şeklinde (k rasyonel olmayan bir sayı) düşünerek seçenekleri test edebilirsiniz.
Tahmini Süre:3m 0s
Soru 294Soru →

Bir caddenin sol tarafında bulunan binalar, 11'den başlayarak ardışık tek tam sayılarla (1,3,5,…1, 3, 5, \dots) numaralandırılmıştır. Kentsel dönüşüm projesi kapsamında, bu caddede yan yana bulunan nn tane bina yıkılacaktır. Yıkılacak binaların kapı numaralarının toplamı 17201720'dir. Yıkılacak binalar arasında kapı numarası en küçük olan bina, toplam yıkılacak bina sayısının (nn) 33 katından 77 fazladır. Buna göre, yıkılacak binalar arasında kapı numarası en büyük olan kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 105

Cevap

Yıkılacak en büyük kapı numarası 105'tir.
Soruda verilen ilişkilere göre bina sayısı n=20n=20 olarak bulunur. İlk bina numarası 67'dir. Ardışık tek sayılar 2'şer arttığı için, 20. binanın numarası 67+(20−1)×2=10567 + (20-1) \times 2 = 105 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizinin genel terimlerini ve toplam formülünü belirle.
Binalar ardışık tek sayılar (1,3,5...1, 3, 5...) olduğu için ortak fark 2'dir. İlk terime xx dersek, terimler x,x+2,…,x+2(n−1)x, x+2, \dots, x+2(n-1) olur. Toplam formülü: S=n⋅x+n(n−1)S = n \cdot x + n(n-1) (veya ortanca terim formülüyle n2(2x+2n−2)\frac{n}{2}(2x + 2n - 2)).
Ardışık tek sayıların toplamını ifade etmek için.
2
Verilen kısıtlamaları denkleme dök.
Toplam S=1720S = 1720. Küçük terim x=3n+7x = 3n + 7. Toplam formülünde yerine koyarsak: 1720=n(3n+7)+n(n−1)1720 = n(3n+7) + n(n-1).
Sorudaki sözel ilişkileri matematiksel eşitliğe çevirmek için.
3
Oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.
1720=3n2+7n+n2−n⇒4n2+6n−1720=01720 = 3n^2 + 7n + n^2 - n \Rightarrow 4n^2 + 6n - 1720 = 0. Sadeleştirirsek (22'ye böl): 2n2+3n−860=02n^2 + 3n - 860 = 0. Çarpanlarına ayırırsak (n−20)(2n+43)=0(n-20)(2n+43)=0. Buradan n=20n=20 (bina sayısı pozitif olmalı).
Bina sayısını (nn) bulmak için.
4
En küçük ve en büyük kapı numaralarını hesapla.
En küçük numara x=3(20)+7=67x = 3(20) + 7 = 67. En büyük numara (son terim) = x+2(n−1)=67+2(19)=67+38=105x + 2(n-1) = 67 + 2(19) = 67 + 38 = 105.
İstenen sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı, terim sayısı ile ortanca terimin çarpımına veya aritmetik dizi toplam formülüne eşittir. Bu soruda iki bilinmeyenli (nn ve xx) bir denklem sistemi, tek bir değişken (nn) üzerinden modellenerek çözülmüştür.

İpuçları

1
Bina sayısına nn, en küçük kapı numarasına xx diyerek bir denklem sistemi kurmayı deneyin. Binaların 'ardışık tek sayı' olduğunu unutmayın.
2
Ardışık tek sayıların toplamı formülünü (S=n⋅x+n(n−1)S = n \cdot x + n(n-1)) kullanarak ve x=3n+7x = 3n + 7 eşitliğini yerine koyarak nn'e bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin.
3
2n2+3n−860=02n^2 + 3n - 860 = 0 denklemini çözerek nn değerini bulun. Sonrasında en büyük numarayı bulmak için x+2(n−1)x + 2(n-1) işlemini yapın.

Daha Fazla Pratik

Ardışık çift sayıların toplamı ve ortanca terim ilişkisi üzerine kurulu benzer bir soru çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Toplam (17201720) ile bina sayısı (nn) arasındaki ilişkiyi düşünün. Ortalama değer 1720n\frac{1720}{n} bir tam sayıdır (veya tam sayıya çok yakındır). nn değeri 2020 civarında denendiğinde, ortalama 8686 olur. Ortanca 8686 ise (çift sayıda terim olduğu için ortadaki iki sayının ortası), sayılar ...85,87......85, 87... şeklinde gider. Buradan n=20n=20 olduğu doğrulanabilir.
Tahmini Süre:4m 0s
Soru 295Soru →

Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı ABCABC doğal sayısının onlar basamağındaki rakam silindiğinde elde edilen iki basamaklı ACAC doğal sayısı, başlangıçtaki ABCABC sayısının 19\frac{1}{9}'una eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan tüm ABCABC doğal sayılarının toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 855

Cevap

Koşulu sağlayan sayıların toplamı 855'tir.
Verilen ilişki matematiksel olarak modellendiğinde 5(A+B)=4C5(A+B)=4C eşitliğine ulaşılır. Bu eşitliği sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan ABCABC sayıları 135, 315 ve 405'tir. Bu sayıların toplamı 855 eder.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel denkleme dökün.
ABC=9⋅ACABC = 9 \cdot AC
Soruda ACAC sayısının ABCABC sayısının 1/91/9'u olduğu belirtilmiştir, yani ABCABC sayısı ACAC'nin 9 katıdır.
2
Basamak çözümlemesi yaparak denklemi açın.
100A+10B+C=9(10A+C)100A + 10B + C = 9(10A + C)
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve AC=10A+CAC = 10A + C şeklinde çözümlenir.
3
Denklemi düzenleyerek A,B,CA, B, C rakamları arasındaki bağıntıyı bulun.
100A+10B+C=90A+9C⇒10A+10B=8C⇒5(A+B)=4C100A + 10B + C = 90A + 9C \Rightarrow 10A + 10B = 8C \Rightarrow 5(A+B) = 4C
Benzer terimleri bir araya getirip sadeleştirme yapılır.
4
Elde edilen 5(A+B)=4C5(A+B) = 4C eşitliğine uygun rakamları belirleyin.
C=5C=5 ve A+B=4A+B=4
5 ve 4 aralarında asal olduğundan, eşitliğin sağlanması için CC 5'in katı olmalıdır. CC bir rakam olduğu için 0 veya 5 olabilir. Ancak C=0C=0 ise A+B=0A+B=0 olur ki bu durumda A=0A=0 olmalıdır, fakat AA yüzler basamağında olduğu için 0 olamaz. Dolayısıyla C=5C=5 olmak zorundadır.
5
A+B=4A+B=4 şartını sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan (A,B)(A,B) ikililerini bulun.
(1,3),(3,1),(4,0)(1,3), (3,1), (4,0)
Toplamları 4 olan ikililer: (1,3),(2,2),(3,1),(4,0)(1,3), (2,2), (3,1), (4,0). Ancak soruda 'rakamları birbirinden farklı' dendiği için (2,2)(2,2) elenir (çünkü A=BA=B olur). Ayrıca C=5C=5 olduğu için diğer rakamlarla çakışma yoktur.
6
Bulunan ABCABC sayılarını yazıp toplayın.
135+315+405=855135 + 315 + 405 = 855
Geçerli sayılar 135, 315 ve 405'tir.

Anahtar Kavram

Basamak Analizi ve Sayı Çözümleme

İpuçları

1
Soruda verilen sözel ifadeyi ABC=9⋅ACABC = 9 \cdot AC şeklinde matematiksel bir eşitliğe dönüştürerek başlayın.
2
Eşitliğin her iki tarafını basamak değerlerine göre açın (100A+10B+C=...100A+10B+C = ...) ve sadeleştirin. CC ile A+BA+B arasında bir oran bulacaksınız.
3
Sadeleştirme sonucunda 5(A+B)=4C5(A+B) = 4C elde edilir. C bir rakam olduğu için 5'in katı olmalıdır. Rakamları birbirinden farklı şartını unutmayın.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla, rakamları toplamının belirli bir katına eşit olan sayıları soran sorular çözülebilir.

Alternatif Yöntem

Deneme yanılma yerine, 9 ile çarpıldığında 3 basamaklı olan ve ortadaki rakamı silindiğinde 1/9'una düşen sayıları düşünmek zordur. Ancak ACAC sayısının 9 katının ortasına bir rakam eklenmiş hali olduğunu düşünerek tersten gidilebilir. Örneğin AC=15AC=15 ise 9×15=1359 \times 15 = 135. Ortadaki 3 silinirse 15 kalır. Doğru. ACAC değerlerini deneyerek (15, 25, 35, 45...) gitmek de bir yöntemdir.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 296Soru →
aa ve bb birer asal sayı olmak üzere,
a2−7b=4a^2 - 7b = 4

eşitliği verilmektedir.

Buna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

a=5 ve b=3 asal sayıları için denklem sağlandığından, bu sayıların çarpımı 15 olur.
Verilen denklem a2−4=7ba^2 - 4 = 7b şeklinde yazılıp (a−2)(a+2)=7b(a-2)(a+2)=7b olarak çarpanlarına ayrıldığında, a+2=7a+2=7 eşitliğinden a=5a=5 ve a−2=3a-2=3 olduğundan b=3b=3 elde edilir. Her iki sayı da asal sayı şartını sağladığı için çarpımları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemi düzenleyelim.
a2−4=7ba^2 - 4 = 7b
Değişkeni yalnız bırakmak ve çarpanlara ayırmaya hazır hale getirmek için sabit terimi karşıya attık.
2
Sol tarafı iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayıralım.
(a−2)(a+2)=7b(a - 2)(a + 2) = 7b
x2−y2=(x−y)(x+y)x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) özdeşliğini kullandık.
3
Çarpanları analiz edelim.
a+2=7a+2=7 ve a−2=ba-2=b veya tam tersi.
77 ve bb asal sayı olduğundan, 7b7b çarpımının çarpanları sadece 1,7,b1, 7, b ve 7b7b olabilir.
4
Değerleri bulalım.
a=5a=5 ve b=3b=3
a+2=7a+2=7 ise a=5a=5 olur. Bu durumda (5−2)(5+2)=3⋅7(5-2)(5+2) = 3 \cdot 7 olduğundan b=3b=3 bulunur. Hem 5 hem de 3 asal sayıdır.
5
İstenen çarpımı hesaplayalım.
5×3=155 \times 3 = 15
a⋅ba \cdot b çarpımı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Asal sayıların çarpan özellikleri ve iki kare farkı özdeşliğinin birlikte kullanımı.

İpuçları

1
Denklemi a2−4=7ba^2 - 4 = 7b şeklinde düzenleyerek sol tarafı çarpanlarına ayırmayı deneyin.
2
(a−2)(a+2)=7b(a-2)(a+2) = 7b eşitliğinde sağ taraftaki çarpanlar 77 ve bb olduğu için a+2a+2 çarpanını 77 sayısına eşitleyin.

Daha Fazla Pratik

İki kare farkının asal sayılara eşit olduğu durumları (örneğin x2−y2=13x^2 - y^2 = 13) inceleyerek pekiştirme yapabilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 297Soru →

a,ba, b ve cc pozitif tam sayıları için a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b+ca + b + c

Cevap

a+b+ca+b+c ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
a⋅(b+c)a \cdot (b+c) ifadesinin tek olması için aa tek ve b+cb+c toplamı da tek olmalıdır. İstenen a+b+ca+b+c ifadesini a+(b+c)a + (b+c) şeklinde gruplandırdığımızda, iki tek sayının toplamı olan sonucun daima çift olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Çarpma işleminin sonucunu analiz etme
aa tek sayıdır ve (b+c)(b + c) toplamı tek sayıdır.
İki sayının çarpımının tek olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
Bileşenlerin paritesini belirleme
a=Teka = \text{Tek}, b+c=Tekb+c = \text{Tek}
a⋅(b+c)a \cdot (b+c) işleminin tek sonuç vermesi bu durumu zorunlu kılar.
3
İstenen ifadeyi parçalara ayırarak inceleme
a+(b+c)=Tek+Tek=C¸ifta + (b + c) = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift}
İki tek sayının toplamı her zaman çift sayı sonucunu verir.

Anahtar Kavram

Çarpma ve toplama işlemlerinde teklik-çiftlik kuralları

İpuçları

1
Çarpımları tek olan iki sayının her birinin ayrı ayrı tek olması gerektiğini hatırlayın.
2
bb ve cc sayılarının tek tek ne olduğunu bulamasanız bile toplamlarının (b+cb+c) tek olduğunu biliyorsunuz.
3
a+b+ca+b+c ifadesini a+(b+c)a + (b+c) olarak düşünün. Elinizde iki adet tek sayının toplamı kalacaktır.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin tam sayı mı yoksa pozitif tam sayı mı olduğuna dikkat ederek benzer bir soruda negatif üs durumlarını inceleyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 298Soru →
xx ve yy doğal sayıları,
x!y!=72 \frac{x!}{y!} = 72

eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 159

Cevap

159
Verilen
x!y!=72\frac{x!}{y!} = 72
eşitliği, xx'ten y+1y+1'e kadar olan ardışık sayıların çarpımının 72 olduğunu gösterir. 72 sayısı ya tek başına 72 olarak (bu durumda x=72,y=71x=72, y=71) ya da 9⋅89 \cdot 8 olarak (bu durumda x=9,y=7x=9, y=7) yazılabilir. Bu durumlardan elde edilen x+yx+y değerleri sırasıyla 72+71=14372+71=143 ve 9+7=169+7=16'dır. Bu değerlerin toplamı 143+16=159143+16=159 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Faktöriyel tanımını kullanarak ifadeyi sadeleştirin.
x!y!=x⋅(x−1)⋅...⋅(y+1)=72\frac{x!}{y!} = x \cdot (x-1) \cdot ... \cdot (y+1) = 72
ifadesi elde edilir. Bu, sonucun ardışık sayıların çarpımı olması gerektiği anlamına gelir.
Faktöriyel bölme işlemi, büyük faktöriyelden küçük faktöriyele kadar olan ardışık sayıların çarpımını verir.
2
72 sayısını ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazabileceğimiz durumları inceleyin.
Durum 1: Tek bir sayı olabilir. 72=7272 = 72. Durum 2: Ardışık iki sayının çarpımı olabilir. 72=9⋅872 = 9 \cdot 8.
Bir tam sayı, kendisi olarak veya ardışık pozitif tam sayıların çarpımı olarak ifade edilebilir.
3
Her iki durum için x ve y değerlerini ve toplamlarını bulun.
Durum 1 için: x=72x=72, sadeleştirmenin 7272 olması için y=71y=71 olmalıdır. x+y=72+71=143x+y = 72+71=143. Durum 2 için: Çarpım 9⋅89 \cdot 8 olduğundan x=9x=9, seri 8'de bittiği için y=7y=7 olmalıdır. x+y=9+7=16x+y = 9+7=16.
xx serinin en büyük terimi, yy ise serinin bittiği terimin bir eksiğidir.
4
Bulunan farklı toplam değerlerini toplayın.
143+16=159143 + 16 = 159.
Soruda alabileceği farklı değerlerin toplamı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerin ardışık sayıların çarpımı şeklinde yazılabilmesi ve çarpan analizi.
Soru 299Soru →
x,yx, y ve zz birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere,
x⋅y+z=51x \cdot y + z = 51

x⋅(y+z)=64x \cdot (y + z) = 64

eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, x+y+zx + y + z toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Verilen denklemlerden x=2x=2, y=19y=19 ve z=13z=13 asal sayıları elde edilir ve toplamları 34'tür.
İkinci denklem genişletilip (xy+xz=64xy + xz = 64) ilk denklemdeki xy=51−zxy = 51 - z ifadesi yerine yazıldığında z(x−1)=13z(x-1) = 13 sonucuna ulaşılır. 13 asal bir sayı olduğu için çarpanları sadece 1 ve 13'tür. zz asal olduğundan z=13z=13 ve x−1=1x-1=1 (yani x=2x=2) bulunur. Bu değerler ilk denklemde yerine yazıldığında y=19y=19 elde edilir. Üçü de farklı asal sayılar olduğu için toplamları 34 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci denklemi dağıtarak birinci denklemle ilişkilendirin.
x⋅y+x⋅z=64x \cdot y + x \cdot z = 64
Birinci denklemdeki x⋅yx \cdot y ifadesini burada yerine yazabilmek için parantezi açmak gerekir.
2
Birinci denklemden x⋅yx \cdot y değerini çekip ikinci denklemde yerine yazın.
(51−z)+x⋅z=64(51 - z) + x \cdot z = 64
Değişken sayısını azaltarak çözülebilir bir denklem elde etmek hedeflenir.
3
Denklemi düzenleyerek zz ve xx arasındaki ilişkiyi bulun.
x⋅z−z=13⇒z⋅(x−1)=13x \cdot z - z = 13 \Rightarrow z \cdot (x - 1) = 13
13 sayısının asal olması, çarpanların bulunmasını kolaylaştırır.
4
13 asal bir sayı olduğundan çarpanlarını değerlendirin.
z=13z = 13 ve x−1=1⇒x=2x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2
zz ve xx asal sayı olduğundan z=13z=13 olmalıdır (z=1z=1 asal değildir).
5
xx ve zz değerlerini kullanarak yy değerini hesaplayın.
2⋅y+13=51⇒2y=38⇒y=192 \cdot y + 13 = 51 \Rightarrow 2y = 38 \Rightarrow y = 19
Bulunan x=2x=2 ve z=13z=13 değerleri birinci denklemde yerine konur.
6
Bulunan tüm asal sayıları toplayın.
2+19+13=342 + 19 + 13 = 34
Soruda istenen toplam değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Asal sayıların temel özellikleri ve denklem sistemlerinde yerine koyma metodu.
Soru 300Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde işlem özellikleriyle ilgili olarak;

I. İki irrasyonel sayının toplamı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
II. Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman bir irrasyonel sayıdır.
III. Bir irrasyonel sayının karesi her zaman bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri daima doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Yalnız II

Cevap

İfadeler tek tek incelendiğinde sadece II. öncülün daima doğru olduğu görülür.
Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı sonucunda elde edilen sayı her zaman irrasyoneldir; çünkü aksi halde irrasyonel sayı, iki rasyonel sayının bölümü olarak yazılabilir ve rasyonel olurdu, bu bir çelişkidir.

Adım Adım Çözüm

1
I. öncülü analiz et (İki irrasyonel sayının toplamı)
Daima doğru değildir. Örnek: a=2a = \sqrt{2} ve b=−2b = -\sqrt{2} seçilirse, her ikisi de irrasyoneldir ancak toplamları a+b=0a + b = 0 olur ve 00 bir rasyonel sayıdır.
Aksi örnek (counter-example) yöntemiyle çürütme
2
II. öncülü analiz et (Sıfırdan farklı rasyonel ile irrasyonelin çarpımı)
Daima doğrudur. x≠0x \neq 0 rasyonel ve yy irrasyonel olsun. Eğer x⋅y=zx \cdot y = z (rasyonel) olsaydı, y=z/xy = z/x olurdu. İki rasyonel sayının bölümü rasyonel olacağından yy rasyonel olurdu, bu da yy'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.
Olmayana ergi (çelişki bulma) yöntemiyle ispat
3
III. öncülü analiz et (İrrasyonel sayının karesi)
Daima doğru değildir. Örnek: x=2+1x = \sqrt{2} + 1 irrasyonel bir sayıdır. Karesi x2=(2+1)2=2+22+1=3+22x^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} olur. Sonuç hala irrasyoneldir.
Tam kare açılımı ve köklü sayı özelliği

Anahtar Kavram

İrrasyonel sayıların cebirsel özellikleri ve kapalılık (closure) durumu
ÖncekiSayfa 15 / 16Sonraki
Temel Kavramlar ve Sayılar — KPSS Genel Yetenek - Genel Kültür — Sayfa 15 | Examkin