Bir kamu araştırma enstitüsü, Türkiye genelindeki KOBİ'lerin (Küçük ve Orta Büyüklükteki İ… — KPSS İstatistik

Bir kamu araştırma enstitüsü, Türkiye genelindeki KOBİ'lerin (Küçük ve Orta Büyüklükteki İşletmeler) yıllık Ar-Ge harcamalarının kitle ortalamasını ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme tasarımı uygulamayı planlamaktadır. Uzmanlar, kitleyi tabakalara ayırmak için üç farklı yardımcı değişken ( $X_1, X_2, X_3$ ) önermiştir.

Bu değişkenlerin her biri için kitlenin toplam varyansı ( $S^2$ ), 'tabaka içi varyans' ( $S_w^2$ ) ve 'tabakalar arası varyans' ( $S_b^2$ ) bileşenlerine ayrıştırılarak aşağıdaki bulgular elde edilmiştir:

I. $X_1$ değişkenine göre oluşturulan tabakalama yapısında, toplam varyansın çok büyük bir kısmı tabaka içi varyans ( $S_w^2$ ) bileşeninden kaynaklanmaktadır.
II. $X_2$ değişkenine göre oluşturulan tabakalama yapısında, tabakalar arası varyans ( $S_b^2$ ) bileşeni maksimum değere ulaşmış olup, tabaka içi varyanslar nispeten çok küçüktür.
III. $X_3$ değişkenine göre oluşturulan tabakalama yapısında ise tabakalar kendi içlerinde kitleye benzer şekilde yüksek varyasyona (heterojen yapıya) sahiptir ve her bir tabakanın ortalaması kitle ortalamasına çok yakındır.

Tabakalı örneklemede tasarımın etkinliğini (hassasiyetini) maksimize etmek isteyen bir araştırmacının hangi değişkeni seçmesi gerektiği ve bunun teorik gerekçesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$X_2$ değişkeni seçilmelidir; çünkü tabakalı örneklemede tahmin edicinin varyansı tabaka içi varyanslara ( $S_w^2$ ) bağlıdır ve tabakalar arası heterojenliğin ( $S_b^2$ ) maksimize edilmesi tabaka içi homojenliği artırarak etkinliği yükseltir.Cevap
B
$X_3$ değişkeni seçilmelidir; çünkü her bir tabakanın kitlenin küçük bir modeli gibi kendi içinde heterojen olması, örneklemin kitleyi temsil gücünü artırarak örnekleme hatasını en aza indirir.
C
$X_1$ değişkeni seçilmelidir; çünkü kitle varyansının büyük kısmının tabaka içi varyansla ( $S_w^2$ ) açıklanması, tabakalama işlemi sayesinde kitlenin tüm varyasyonunun korunduğunu ve yansızlığın sağlandığını gösterir.
D
$X_2$ değişkeni seçilmelidir; ancak bunun temel amacı tabakalar arası varyansı ( $S_b^2$ ) artırarak tasarım etkisini (deff) 1'den büyük hale getirmek ve böylece basit rastgele örneklemeye göre örneklem hacminden tasarruf etmektir.
E
$X_1$ değişkeni seçilmelidir; çünkü toplam varyansın tabaka içine ( $S_w^2$ ) kayması, örneklem istatistiklerinin kitle parametrelerinden sapmasını engelleyerek ölçüm ve çerçeve gibi örnekleme dışı hataları ortadan kaldırır.

Cevap

X_2

değişkeni seçilmelidir. Gerekçe olarak, tabaka içi varyansların minimize edilip tabakalar arası varyansın maksimize edilmesinin tabaka içi homojenliği sağlayarak tahmin edici varyansını düşürmesi gösterilmelidir.

Tabakalı örneklemede temel amaç, tabaka içi homojenliği (düşük

S_w^2

) ve tabakalar arası heterojenliği (yüksek

S_b^2

) sağlamaktır. Tahmin edicinin varyansı

V(\bar{y}_{st})

doğrudan tabakaların kendi içindeki varyanslarına (

S_h^2

) bağlıdır. Toplam varyans (

S^2

) sabit kabul edildiğinde, varyansın tabakalar arası bileşene (

S_b^2

) kaydırılması (maksimize edilmesi), doğal olarak tabaka içi varyansı minimize edecektir. Bu teorik altyapıyı eksiksiz sağlayan değişken

X_2

'dir.

Adım Adım Çözüm

Tabakalı örneklemede etkinliği artıran temel matematiksel prensibi belirle.

Tabakalı örneklemede kitle ortalamasının tahmin edicisinin varyansı

V(\bar{y}_{st})

, tabakaların kendi içindeki varyanslarının (

S_h^2

) ağırlıklı bir fonksiyonudur.

Varyansı minimize etmek için tabaka içi varyansların mümkün olduğunca küçük olması gerekir.

Kitle varyansının bileşenlere ayrışımını (ANOVA mantığı) analiz et.

Toplam varyans sabit bir değerdir ve yaklaşık olarak tabaka içi varyans (

S_w^2

) ile tabakalar arası varyansın (

S_b^2

) toplamına eşittir (

S^2 \approx S_w^2 + S_b^2

S_w^2

değerini minimize etmek, matematiksel olarak

S_b^2

değerini maksimize etmekle mümkündür.

Verilen üç değişkenin (

X_1, X_2, X_3

) varyans ayrışımını değerlendir.

X_1

yüksek

S_w^2

'ye,

X_3

her biri kitleye benzeyen (yüksek varyanslı) tabakalara,

X_2

ise düşük

S_w^2

ve yüksek

S_b^2

'ye sahiptir.

Tabaka oluşturma ilkelerine (tabaka içi homojenlik, tabakalar arası heterojenlik) en uygun değişkeni tespit etmek için.

Tasarım etkisi (Design Effect - deff) kavramını kontrol et.

Etkin bir tabakalı örneklemede varyans, basit rastgele örneklemeden düşük olacağı için deff < 1 olmalıdır.

Seçeneklerdeki yanıltıcı gerekçeleri (deff > 1) elemek için.

Doğru değişkeni ve teorik gerekçesini birleştir.

Maksimum etkinlik için

S_b^2

'yi maksimize edip

S_w^2

'yi minimize eden

X_2

seçilmeli ve deff < 1 hedeflenmelidir.

En uygun stratejiyi nihai cevaba dönüştürmek için.

Anahtar Kavram

Tabakalı Örneklemede Varyans Ayrışımı ve Homojenlik İlkesi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru