Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir araştırmacı, bir finansal varlığın belirli bir dönemdeki oransal getirilerini XX rassal değişkeni ile modellemektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x∣θ)={θxθ−1,0<x<10,dig˘er durumlardaf(x|\theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta - 1} & , \quad 0 < x < 1 \\ 0 & , \quad \text{diğer durumlarda} \end{cases}

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bu dağılımdan alınan nn çaplı rastgele bir örneklem olmak üzere, bu dağılım ailesinin Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahip olduğu bilinmektedir.

Buna göre, θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 koşulunu sağlayan parametre değerleri için oluşturulan L(θ2∣x)L(θ1∣x)\frac{L(\theta_2 | \mathbf{x})}{L(\theta_1 | \mathbf{x})} olabilirlik fonksiyonları oranı, aşağıdaki istatistiklerden hangisine göre artan bir fonksiyondur?

  1. ∑i=1nln⁡(xi)\sum_{i=1}^n \ln(x_i)Cevap
  2. B
    −∑i=1nln⁡(xi)-\sum_{i=1}^n \ln(x_i)
  3. C
    ∑i=1nxi\sum_{i=1}^n x_i
  4. D
    ∑i=1nln⁡(1−xi)\sum_{i=1}^n \ln(1-x_i)
  5. E
    ∑i=1n1xi\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}

Cevap

Doğru istatistik ∑i=1nln⁡(xi)\sum_{i=1}^n \ln(x_i) ifadesini içeren seçenektir.
Olabilirlik fonksiyonları oranı hesaplandığında, oran exp⁡((θ2−θ1)∑i=1nln⁡(xi))\exp\left( (\theta_2 - \theta_1) \sum_{i=1}^n \ln(x_i) \right) ile orantılı çıkmaktadır. Soru kökünde θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 olduğu belirtildiği için üs çarpanı olan (θ2−θ1)(\theta_2 - \theta_1) pozitiftir. Pozitif katsayılı bir üstel fonksiyon, üssündeki değişkene göre monoton artan özellik gösterir. Bu yüzden oran, doğrudan ∑i=1nln⁡(xi)\sum_{i=1}^n \ln(x_i) istatistiğine göre artan bir fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem için ortak olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu L(θ∣x)L(\theta|\mathbf{x}) matematiksel olarak ifade edin.
L(θ∣x)=∏i=1nθxiθ−1=θn(∏i=1nxi)θ−1L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \theta x_i^{\theta-1} = \theta^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}
Monoton olabilirlik oranını bulabilmek için öncelikle örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyacımız vardır.
2
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 varsayımı altında olabilirlik fonksiyonları oranını L(θ2∣x)L(θ1∣x)\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} yazın.
L(θ2∣x)L(θ1∣x)=θ2n(∏xi)θ2−1θ1n(∏xi)θ1−1\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} = \frac{\theta_2^n \left(\prod x_i\right)^{\theta_2-1}}{\theta_1^n \left(\prod x_i\right)^{\theta_1-1}}
MLR tanımı gereği iki farklı parametre değeri için olabilirliklerin oranının incelenmesi şarttır.
3
Oran ifadesini üstel (exponential) forma dönüştürerek sadeleştirin ve yeterli istatistiği belirginleştirin.
(θ2θ1)n(∏i=1nxi)θ2−θ1=(θ2θ1)nexp⁡((θ2−θ1)∑i=1nln⁡(xi))\left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta_2-\theta_1} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \exp\left( (\theta_2-\theta_1) \sum_{i=1}^n \ln(x_i) \right)
Üstel form, fonksiyonun hangi istatistiğe bağlı olarak monoton şekilde değiştiğini çok daha net gösterir.
4
Elde edilen üslü ifadenin monotonluk yönünü analiz edin.
θ2>θ1\theta_2 > \theta_1 olduğu için (θ2−θ1)(\theta_2 - \theta_1) farkı pozitiftir. Üslü fonksiyon (exp⁡(c⋅T)\exp(c \cdot T)) c>0c > 0 için artan bir fonksiyon olduğundan, tüm oran ∑i=1nln⁡(xi)\sum_{i=1}^n \ln(x_i) istatistiğine göre artan bir fonksiyondur.
MLR kuralına göre, oranın monoton artan olmasını sağlayan istatistik, UMP testinin red bölgesini belirlemede kullanılır.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Üstel Aileler

Alternatif Yöntem

Çarpım kuralı (Product rule) kullanılarak doğrudan olabilirlik oranı (∏xi)θ2−θ1\left(\prod x_i\right)^{\theta_2-\theta_1} şeklinde bırakılabilir. θ2−θ1>0\theta_2 - \theta_1 > 0 olduğundan, oran ∏xi\prod x_i istatistiğine göre de artan bir fonksiyondur. Ancak seçeneklerde doğrusal dönüşüm olan logaritmik toplam verildiği için ln⁡(∏xi)=∑ln⁡(xi)\ln(\prod x_i) = \sum \ln(x_i) eşitliğinden sonuca kolayca ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bu konudan daha fazla soru