Examkin

Soru

Zorluk: ZorMonoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bir kamu kurumu laboratuvarında kullanılan bir analiz cihazının kalibrasyon stabilitesi incelenmektedir. İnceleme kapsamında ardışık olarak elde edilen nn adet bağımsız ölçüm sapması Y1,Y2,…,YnY_1, Y_2, \dots, Y_n rastgele değişkenleri ile modellenmiştir. Her bir ölçüm sapmasının ortalaması sıfır, varyansı ise bilinmeyen bir θ\theta parametresi olan normal dağılıma (Yi∼N(0,θ)Y_i \sim N(0, \theta), θ>0\theta > 0, yi∈Ry_i \in \mathbb{R}) sahip olduğu tespit edilmiştir. Uzmanlar cihazdaki varyasyonun kritik bir θ0\theta_0 eşiğini aşıp aşmadığını belirlemek için H0:θ≤θ0H_0: \theta \leq \theta_0 yokluk hipotezini H1:θ>θ0H_1: \theta > \theta_0 alternatif hipotezine karşı test edecektir.

Buna göre, dağılım ailesinin θ\theta parametresine göre Monoton Olabilirlik Oranına (MLR) sahip olmasını sağlayan yeterli istatistik T(y)T(\mathbf{y}) ve herhangi bir θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 için olabilirlik oranının (L(θ1)/L(θ0)L(\theta_1)/L(\theta_0)) bu istatistiğe göre monotonluk durumu aşağıdakilerden hangisinde doğru tanımlanmıştır?

  1. A
    Yeterli istatistik T(y)=∑i=1nyiT(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.
  2. B
    Yeterli istatistik T(y)=∑i=1nyi2T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2 olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton azalandır.
  3. Yeterli istatistik T(y)=∑i=1nyi2T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2 olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.Cevap
  4. D
    Yeterli istatistik T(y)=∑i=1n(yi−yˉ)2T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.
  5. E
    Yeterli istatistik T(y)=∑i=1nyiT(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton azalandır.

Cevap

Yeterli istatistik T(y)=∑i=1nyi2T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2 olup olabilirlik oranı bu istatistiğe göre monoton artandır.
Kitle ortalaması bilindiği (sıfır olduğu) için Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi uyarınca yeterli istatistik T(y)=∑i=1nyi2T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2 olarak bulunur. θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 için kurulan L(θ1)/L(θ0)L(\theta_1)/L(\theta_0) oranında ∑yi2\sum y_i^2 istatistiğinin katsayısı (12θ0−12θ1)\left(\frac{1}{2\theta_0} - \frac{1}{2\theta_1}\right) pozitif bir değer alır. Üstel (eksponansiyel) fonksiyon artan bir fonksiyon olduğundan ve pozitif bir sayıyla çarpıldığından, yeterli istatistiğe göre olabilirlik oranı monoton artandır.

Adım Adım Çözüm

1
Y1,…,YnY_1, \dots, Y_n örneklemi için olabilirlik fonksiyonunu (L(θ)L(\theta)) oluşturunuz.
L(θ)=∏i=1n12πθexp⁡(−yi22θ)=(2πθ)−n/2exp⁡(−12θ∑i=1nyi2)L(\theta) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}} \exp\left(-\frac{y_i^2}{2\theta}\right) = (2\pi\theta)^{-n/2} \exp\left(-\frac{1}{2\theta} \sum_{i=1}^n y_i^2\right)
Yeterli istatistiği belirlemek ve olabilirlik oranını hesaplamak için temel fonksiyonun elde edilmesi gerekir.
2
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile yeterli istatistiği belirleyiniz.
Gözlemlere bağlı çarpan exp⁡(−12θ∑i=1nyi2)\exp\left(-\frac{1}{2\theta} \sum_{i=1}^n y_i^2\right) ifadesidir, dolayısıyla T(y)=∑i=1nyi2T(\mathbf{y}) = \sum_{i=1}^n y_i^2 yeterli istatistiktir.
MLR özelliğinin tanımlanabilmesi için olabilirlik oranının yeterli istatistiğe bağlı bir fonksiyon olarak yazılması zorunludur.
3
θ1>θ0\theta_1 > \theta_0 koşulu altında L(θ1)/L(θ0)L(\theta_1) / L(\theta_0) oranını hesaplayınız ve monotonluk yönünü belirleyiniz.
Oran: L(θ1)L(θ0)=(θ0θ1)n/2exp⁡[(12θ0−12θ1)∑i=1nyi2]\frac{L(\theta_1)}{L(\theta_0)} = \left(\frac{\theta_0}{\theta_1}\right)^{n/2} \exp\left[ \left(\frac{1}{2\theta_0} - \frac{1}{2\theta_1}\right) \sum_{i=1}^n y_i^2 \right] olur. θ1>θ0>0\theta_1 > \theta_0 > 0 olduğundan 1θ0>1θ1\frac{1}{\theta_0} > \frac{1}{\theta_1} eşitsizliği geçerlidir. Bu durumda üstel katsayı (12θ0−12θ1)>0\left(\frac{1}{2\theta_0} - \frac{1}{2\theta_1}\right) > 0 olur ve oran fonksiyonu T(y)T(\mathbf{y}) istatistiğine göre monoton artandır.
MLR tanımı gereği, üstel ifadedeki katsayının işareti (pozitif olması) fonksiyonun yeterli istatistik üzerinden monoton artan olduğunu gösterir.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)
Bu soruyu puanla

Konular

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Bu konudan daha fazla soru