Examkin

Soru

Zorluk: OrtaEKK Tahmin Edicilerinin Özellikleri (Gauss-Markov Teoremi)

Bir kamu kurumu analisti, bölgesel teşviklerin (XX) istihdam artışı (YY) üzerindeki etkisini ölçmek amacıyla Yi=β0+β1Xi+uiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i biçiminde bir doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Analist, Gauss-Markov varsayımlarının tam olarak sağlandığı bu veri setinde β1\beta_1 parametresini tahmin etmek için iki farklı yöntem kullanmıştır. Birinci yöntem standart En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicisini (β^1,EKK\hat{\beta}_{1,EKK}), ikinci yöntem ise EKK'dan farklı ancak yine doğrusal ve sapmasız olduğu bilinen alternatif bir tahmin ediciyi (β~1\tilde{\beta}_1) temel almaktadır.

Gauss-Markov teoremi dikkate alındığında, bu iki tahmin edicinin özellikleri karşılaştırıldığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. β^1,EKK\hat{\beta}_{1,EKK} tahmin edicisinin varyansı, β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisinin varyansından küçük veya ona eşittir.Cevap
  2. B
    Her iki tahmin edici de doğrusal ve sapmasız olduğundan, Gauss-Markov teoremine göre varyansları birbirine kesinlikle eşittir.
  3. C
    Doğrusal ve sapmasız bir tahmin edici olduğu belirtilen β~1\tilde{\beta}_1'in varyansı, veri setindeki gözlem sayısına bağlı olarak β^1,EKK\hat{\beta}_{1,EKK}'nın varyansından daha küçük değerler alabilir.
  4. D
    Bağımsız değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı olması durumunda β^1,EKK\hat{\beta}_{1,EKK} sapmalı hale geleceği için β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisi daha güvenilirdir.
  5. E
    Modelin hata terimlerinde otokorelasyon bulunması halinde, β^1,EKK\hat{\beta}_{1,EKK} tahmin edicisi sapmasızlığını yitirmese de Gauss-Markov teoremine göre en küçük varyanslı olmaya devam eder.

Cevap

β^1,EKK\hat{\beta}_{1,EKK} tahmin edicisinin varyansı, β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisinin varyansından küçük veya ona eşittir.
Gauss-Markov teoremine göre, Klasik Doğrusal Regresyon Modeli (KDRM) varsayımları altında En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicileri 'En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Ediciler'dir (BLUE). Buradaki 'en iyi' (best) kelimesi, tüm doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler arasında EKK'nın en küçük varyansa sahip olduğunu ifade eder. Soruda belirtilen alternatif β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisi de doğrusal ve sapmasız olduğu için, matematiksel olarak varyansı EKK tahmin edicisinin varyansından daha küçük olamaz. Bu nedenle EKK tahmin edicisinin varyansı her zaman β~1\tilde{\beta}_1'in varyansından küçük ya da sınır durumunda ona eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Gauss-Markov teoreminin tanımını ve temel sonucunu hatırlama
Teorem, Klasik Doğrusal Regresyon Modeli varsayımları altında EKK tahmin edicilerinin 'En İyi Doğrusal Sapmasız Tahmin Edici' (BLUE) olduğunu belirtir.
Soruda her iki tahmin edicinin de doğrusal ve sapmasız olduğu verilmiştir.
2
BLUE ifadesindeki 'En İyi' (Best) kavramının istatistiksel anlamını analiz etme
'En İyi' kavramı, tahmin edicinin ait olduğu doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler sınıfı içinde en küçük varyansa sahip olmasını ifade eder.
Varyansın küçük olması, tahminin kesinliğinin (etkinliğinin) yüksek olduğunu gösterir.
3
İki tahmin edicinin varyanslarını karşılaştırma
β~1\tilde{\beta}_1 doğrusal ve sapmasız bir tahmin edici olduğuna göre, varyansı hiçbir zaman EKK tahmin edicisinin varyansından (β^1,EKK\hat{\beta}_{1,EKK}) daha küçük olamaz.
EKK zaten minimum varyans sınırını belirlediği için, diğer tüm doğrusal ve sapmasız tahmin edicilerin varyansları EKK'nın varyansına eşit veya ondan daha büyük olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Gauss-Markov Teoremi ve 'En İyi' (BLUE) Özelliği
Bu soruyu puanla

Konular

EKK Tahmin Edicilerinin Özellikleri (Gauss-Markov Teoremi)

Bu konudan daha fazla soru