Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Yorum ve Diklik (Ortogonallik) Özelliği

pp değişkenli bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanırken, orijinal veri matrisi ortogonal bir dönüşüm matrisi A\mathbf{A} (burada A′A=AA′=I\mathbf{A}'\mathbf{A} = \mathbf{A}\mathbf{A}' = \mathbf{I} eşitliği geçerlidir) kullanılarak yeni bir koordinat sistemine taşınır.

Bu dönüşümün geometrik yorumu, temel bileşenlerin yapısı ve diklik (ortogonallik) özelliği dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Ortogonal dönüşüm, veri noktalarının merkeze olan uzaklıklarını koruyan bir katı dönüşüm (rigid rotation) işlemi olup, yeni eksenleri veri bulutunun sabit yoğunluk elipsoidinin temel eksenleri ile çakıştırır.Cevap
  2. B
    Dönüşüm matrisinin ortogonal yapısı, başlangıçtaki kovaryans matrisinin izini (trace) değiştirerek elde edilen yeni uzayda toplam varyansın azalmasına olanak tanır.
  3. C
    Değişkenler arasındaki ilişkileri daha net yorumlayabilmek için, temel bileşen eksenleri arasındaki diklik koşulu esnetilerek eksenler birbirine eğik (oblique) olacak şekilde konumlandırılabilir.
  4. D
    İlk temel bileşen ekseninin yönü, geometrik olarak çok boyutlu elipsoidin en kısa ekseni boyunca uzanır; çünkü bu yön elde edilen varyansın en büyük kısmını temsil eder.
  5. E
    Temel bileşenlerin birbirine tam dik olması, orijinal varyansın ortak gizil (latent) yapı ve dışsal bir hata terimi olarak iki ayrı ortogonal bileşene ayrılmasıyla geometrik olarak sağlanır.

Cevap

Doğru ifade, ortogonal dönüşümün uzaklıkları koruyan bir katı dönüşüm olduğu ve yeni eksenlerin sabit yoğunluk elipsoidinin temel eksenleri ile çakıştığını belirten ifadedir.
Temel Bileşenler Analizinde (TBA) uygulanan ortogonal dönüşüm, bir rotasyon (katı dönüşüm) işlemidir. Bu işlemde orijinal uzaydaki veri noktalarının orijine ve birbirlerine olan Öklid uzaklıkları değişmez, yani yapısal bozulma olmaz. Yeni koordinat sistemi, veri setinin varyansını temsil eden çok boyutlu elipsoidin eksenleri ile hizalanır; böylece ilk temel bileşen elipsoidin en uzun eksenini, diğerleri de varyans büyüklüğüne göre sırasıyla kalan dik eksenleri oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
TBA'da kullanılan ortogonal dönüşümün matematiksel özelliklerini belirle.
A′A=I\mathbf{A}'\mathbf{A} = \mathbf{I} eşitliği, dönüşümün mesafeleri ve açıları koruduğunu (katı dönüşüm) gösterir.
Ortogonal matrislerle yapılan dönüşümlerde Öklid uzaklıkları ve toplam varyans (iz) sabit kalır.
2
Dönüşümün geometrik karşılığını çok değişkenli normal elipsoid üzerinden yorumla.
Elde edilen yeni dik eksenler (temel bileşenler), varyansın en büyük olduğu yönlerden başlayarak azalan sırayla elipsoidin ana (en uzun) ve minör eksenlerine yerleşir.
Özvektörler elipsoidin eksen yönlerini, özdeğerler ise bu eksenlerin uzunluklarını (varyansları) verir.
3
Yanlış varsayımları eleyerek doğru sonuca ulaş.
Toplam varyansın değişmesi, eğik döndürme yapılabilmesi, ilk bileşenin en kısa eksen olması ve modele hata terimi eklenmesi ifadelerinin tümü TBA'nın doğasına aykırıdır.
TBA varyansı koruyan, tamamen dik, doğrudan bir boyut indirgeme ve döndürme işlemidir.

Anahtar Kavram

TBA'nın Geometrik Yorumu ve Ortogonal (Katı) Dönüşüm
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Yorum ve Diklik (Ortogonallik) Özelliği

Bu konudan daha fazla soru